山东省泰安市泰山中学2020届高三数学四模试题(含参考答案)

1、山东省泰安市泰山中学2020届高三数学四模试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设集合 M 二0, 1, 2, N=UI x-3aH-2<0,贝 IJMGN二A.1B. 2C.0, 1D. 1, 22 .已知复数z满足(1+力臼庄+小3为虚数单位，则广A.1- 2B i+yC. /D. + /2 22 23 .若向量 a, 6满足回=1, (46)_La, (2/6) J_6,则例=A. 1B. 2C. D.应24 .已知抛物线E：/二2ry(p>0)的焦点为F, 0为坐标原点，OF为菱形0BFC的一条对角

2、线， 另一条对角线BC的长为2,且点B, C在抛物线E上，则斤A. 1B. >/2C. 2D. 2近5.已知S.是等差数列&的前A项和,则"S.>A4对恒成立”是“小岛”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4卡 AB7 .已知函数f(x)是定义在R上的奇函数Xlogjz?) W3,则m的取值范围是A. (0, 2B. -,228 .如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AOB1 分别为AD, BC的中点，则异而直线AN,CD,当 (-8, 0时，f(x)二一/+2x,若实数 s满足C. (0, 8D. -,88)=CD=3

3、, AD=BC=2,点 M, N/CM所成的角的余弦值是次C-1-第8题图6.函数/。)= "一1)8$N一；1<<乃且%工0)的图象可能为XA.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是A.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校 四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一、二、三、四年级本 科生人数之比为6： 5： 5： 4,则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件

4、次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为L2C.已知变量又与y正相关，且由观测数据算得工=3, y=3. 5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0. 4x+2. 3D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两 个互斥而不对立的事件10.已知定义在(0,£)上的函数F(x), f (x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf (x)+sinx£(x) 2V0成立，则A. /(£)>V2/()B. /(£)>/)6 463c.心节心D.历心R心7 36411.设函数g(x)=sin3x(a>

5、;0)向左平移二个单位长度得到函数f(x),已知f(x)在0,2句 SCO上有且只有5个零点，则下列结论正确的是A. f(x)的图象关于直线x = £对称2B. f(x)在(0, 2开)上有且只有3个极值大点，f(x)在S，2开)上有且只有2个极小值点C. f(x)在(0, 2为上单调递增12 29D. 3的取值范围是上，二5 1012.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将4418沿直线AM翻折成ABM 连接员D, N为B,D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是A.存在某个位置，使得CNJ_ABiB. CN的长是定值C.若 AB=BM,则 ANLLB1DD.若AB=BM=1

6、,当三棱锥及一AMD的体积最大时，三棱锥Bt-AMD的外接球的表面枳是4万三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有 志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12, 13）, 13, 14）, 14, 15）, 15, 16）, 16, 17, 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二 组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为14 .（工一1）（1一回4的展开式中式的系数为 . X15 .已知函数/>（幻=（°83（*+1）一2/*（）,则一一2020）二 .

7、 /（a + 3）,x<016 .已知直线2： 3廿4川片0,圆C： x'+/-4.什2=0,则圆C的半径产 ；若在圆C Jt存在两点A, B,在直线上存在一点P,使得NAPB=90° ,则实数m的取值范围是 .（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10 分）请从下而三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.启+而辰=-6 £+3=52AABC的面积为3厉在ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,己知642, cosA=-t 求a：-3-求cos(2C + &

8、#163;)的值. 618. （12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为正方形，PA_L平而ABCD, PA二AB, E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（D求证：AE_L平面PBC；试确定点F的位置,使平面AEF与平而PCD所成的锐二面角为300.19. （12 分）已知等差数歹的公差40,左二7,且加4，5为成等比数歹U.求数列QJ的通项公式；若数列6J满足一一L = 勺（eN*）,且6k1,求数列8的前项和L. %2320. （12 分）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：

9、天）数据，整理如下：改造前：19, 31, 22, 26, 34, 15, 22, 25, 40, 35, 18, 16, 28, 23 , 34, 15, 26, 20, 24, 21改造后：32, 29, 41, 18, 26, 33, 42, 34, 37, 39, 33, 22, 42, 35 , 43 , 27, 41, 37, 38, 36（1）完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异？超过30不超过30改造前改造后（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费， 保障维护费两种.对生产设备设定维护周期为

10、T天（即从开工运行到第AT天,ACN4）进行维 护.生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周 期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费：若生产 设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费.经测算，正常维护费 为0. 5万元/次：保障维护费第一次为0. 2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加 0.2万元.现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案：T=30, k=l, 2, 3, 4. 以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期n(ad -be)2附：K内

11、生产维护费的分布列及均值.(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)P心*)0. 0500.0100. 001k3.8416. 63510. 82821. (12 分)2已知椭圆Q：二+二= l(n>b>0)的左、右顶点分别是双曲线a：工一 V =1的左、右焦点, er lrnr且C,与仪相交于点(33(1)求椭圆a的标准方程：设直线上y = 6-L与椭圆C1交于A, B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒 过定点，求出该定点：若不恒过定点，请说明理由.22. (12 分)已知函数/(x) = (x 2)e*+x + 2, F (x)是f(x)的导函数.(1)

12、证明:当*>0 时,f(x)>0：证明：g(x) = (l-sin观小一f'(x)+2-2在(一肛乃)上有且只有3个零点.数学参考答案及评分标准13. 1814. 515. -116- " -16,4四、解答题：17. (10 分)解：方案一：选择条件：(1) AB + AB.BC = AB.(AB + BC) = AB.AC = be cos A =-6-8-/. bc=242 分be = 24b.c = 2解得、b = -4(舍去)c = -6:.a2 =b2 +c2 2bccosA = 36 4-16 - 2 x 6 x 4 x ( -) = 64a=8(2

13、) cos C =lab_ 64 + 36 162x8x6=7 "8= H 邛6分17/ cos2C = 2cos2 C-l = 32sin 2C = 2 sin C cos C = 8分32:.cos(2C + ) = cos 2Ccos - sin 2Csin 666方案二：选择条件:6410分（1）由：2解得,Z?-c = 2b = 6或 c = 4b = -4,(舍去)-11-/ a2 =b2 +c2 2Z?ccosA = 36 + 16 2x 6x4x() = 644（2）同方案一方案三：选择条件:(1) VcosA = -4AsinA = 4S&wc = '

14、;csinA =be = 24b-c = 2解得工俗=T A,(舍)c = -6a2 =b2 +c2 -2hccosA = 364-16-2x6x4x(-) = 64a=8（2）同方案一18. (12 分) 解：（1） ；PAJ_平面ABCD, BCu 平面 ABCDAPA1BCVABCD为正方形AAB1BC又 PAAAB=A, PA, ABu 平面 PAB，AEu 平面 PABAAE1BC 4分VPA=AB, E为线段PB的中点AAE±PB又 PBDBC=B, PB, BCu 平面 PBC，AE，平面PBC 6分(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-rz设正方形AB

15、CD的边长为2,则A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2,2,0), D (0, 2,0) P (0, 0, 2) E (1, 0,1)/. AE = (1,0,1), PC = (2,2,-2), PD = (O,2,-2)8分设 F (2, X, 0) (0W<W2),衣= (2,40)设平面AEF的一个法向量为n (xi, zO ifAE = 0则V _nAF = 00,+ & =°2xj + 2 = 0x = -4令yi=2,则, n =(一2,2.2)10 分 设平面PCD的一个法向量为止(用，加%)nfPC = 0则 _nfPD = 0.k +

16、 >2-=0 I 乃一Z2=0 令 n=l,则(0,1,1):平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30° , .icos3oi=M= R+a =正 / 一 -砸一功X&万+4一万' 解得入=1, 当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°12分19. (12 分)解：(1) &,&, 5合成等比数列工(q + 5d» = 5al.(% + 2d)整理得4。：=251.57f5 . a1=一或 6 =一一4 22当/ = "(/时92_5 ,«2 =76=51,满足题意,4 = 2当=

17、一|，/ 时，5 ,Clx = d14由'2解得"=-J,不合题意, _3:.an =5 + 2(n -1) = 2/7 + 3(2)由(1)知，当时,(n-1)(5+ 2/1 + 1)2=2+2-3，当 n22 时，-=2 %11111 1+，+ 4 =111瓦4仇区bn a-=n2+2n - 3又n(n + 2)当 =1时，h =-!- = - 1 lx(l + 2) 3:电= n(n + 2)10分+1 、/? + 2 >12分_Um_!j_)- 3川+5212 n + n + 2) 4(+ 1)(+ 2)20. (12 分)解：(1)超过30不超过30改造前51

18、5改造后155=10 > 6.6352 40(5x5-15x15)'20 x 20 x 20 x 20/-有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.4分（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产 线需保障维护的概率为P=1.4设一个生产周期内需保障维护的次数为，则J 8 4,1 一个生产周期内的正常维护费为0.5x4 = 2万元，保障维护费为=（0.1$+ 0.*）万元，一个生产周期内需保障维护4次时的生产维护费为（0.+。V + 2）万元.设一个生产周期内的一产维护费为X,则X的所有可能取值为2, 2.2, 2.6, 3.2

19、, 48分P(X=2) =81 "2561P(X=2.6) = C：1-1_ 27128P(X =256所以，X的分布列为E(X)=2xIP(X=3.2) = C"I 1-364X22.22.63.24P81256276427128641 25681 27 ” 27 3 x 1f 22 xf 2.6xf 3.2 xf 4x2566412864256162+ 237.6 +140.4+ 38.4 + 4 582.4 .=2.275256256，一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元10分12分21. （12 分）解：（1）将出£代入£一丁= 3 3

20、 "解得/=i:.a1 = m2 + 1 = 22分将殍，制代入+=1I 33 J 2 6解得=1，椭圆G的标准方程为y+r = l4分(2)设4(%,)1),5(&,y2)，, 1y = -、.整理得厂 )1+)广=112 (9 + 185卜2一12 日 16 = 0,2k-16，X + X, =T .不然)=9 + 18二 1 - 9 + 18 攵 2 = 144代 +64（9 +182） > 06 分法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.8分M4 =(内,% - %),河8 = (W，n - %)加 MB =为 + (M - >o

21、)= xIx2 + y1y2-y0(yI+y2) + jj=Xg +心也一*I +/)一 九攵(0+%2 )一 =(1 + 二)中2 - g + %)(3 + )+ V： + | >'() + 118(y： l*+9 %+6)，。15yo 1=0,，解得汽=1，月+6% -15 = 0/.以线段AB为直径的圆恒过定点（0,1）.10分12分法二：设定点为（飞0），则 疯=（七 一如 乂一%），耐=仁一玉），、2一%）MAMB = (Xl-x0)(x2-x0)+(yl-y)(y2-yQ)+%)+£+ 3 :卜儿女（$+）一| 十弁=玉 - X。(X + 士 ) + 片 +

22、)' 1>2 - >0 ( X +)'2 ) + >?0-17-10分12分=（1 +公卜/一%+ （% + :卜（%+工）+ X： +）'： +彳为+ 518(玉+- 1)K - 12xk + 9%)2 + 9y。2 + 6% -15=0£ + y； -1 =。/ =。解得 >,()=19xj+9y()+6yo-I5 = O二以线段AB为直径的圆恒过定点（。/）.22. (12 分) 证明：(1) fx) = (x-)ex+ 令 k (工)=" _ 1)炉 +1,则 Z/(x) = X/当x>0时，(x)>0,.r(x)在(o,+s)上单调递增， ."(0)=0，寸，r(x)>o, .j(x)在(o,+s)上单调递增， 又"0)=0，.去>00寸，y(x)>o.4分(2) g(x) =