离散傅里叶变换(DFT)

1、第三章离散傅里叶变换(DFP解:1.如图P3-1所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。分析利用DFS的定义求解5由 X(k) = '、x(n)W6nkn =05 _22：nk八 x(n)e 6n =0.4 k_j_2 k_j 3k_j_4k_j 5k=14 12e 610e 6 8e 6 6e 610e 6计算求得i 一 一 一 urX(0) =60, X(1) =9 -j3 3,X(2) = 3 j 3一X(3) =0, X(4) =3-j 3 ,X(5)=9 j3 3一、L、，一 一一2.设x(n)=R(n), %n)=x(n)6,试求 X(k),并做图

2、表小 x(n),X(k)分析利用DFS的定义求解。5解：由 X(k) =£ x(n)W6nkn =05.2.2%. j nk-j k-jk= % (n)e 61 e 3 e 3 en -0孑冰计算求得X(0) =4, X(1)= - j3,X(2)=1一 .一，X(3) =0, X(4) =1,X(5) = jV3 _一x(n), X(k)如图 P3-2 所小4 5 t> T It 9 10 II k图 P3-23.已知x(n)是N点有限长序列，X(k) = DFTx(n)。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)y(n) = <x(n),0<n<N -10,

3、N <n <rN -1试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。分析利用DFT定义求解，y(n)是rN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 . . N 用k解：由 X(k)= DFTx(n)=£ x(n)e N ,n =00 < k < N -1可得N 1Y(k) = DFTy(n)y(nWrNkn =0N 二八 x(n)WrNkn=0N 4声nkk=E x(n)e N 1 =X，n$rk =lr,l =0,，N -1所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其他的数值(不一定

4、为零)，儿当k为r烦人整数lk倍时，Y(k)与X(k)相等。r4.已知x(n)是N点有限长序列,X(k) = DFTx(n),现将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限长序列y(n)y(n)x(n/r),0,n =ir,i =0,1，,N -1else试求rN点DFT y(n)与X (k)的关系。分析离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以 N为周期延拓r次，即Y(k)周期为rN。N 1解：由 X(k) = DFTx(n) =z x(n)W:，0<k<N -1n =0NN 1N 1可得Y(k) = DFTy(n) =£ y(n)WrNk =&

5、#163; x(ir/r)WrNk =£ x(i)Wnk , 0 < k < rN -1n=0n=0nW而Y(k) =X(k)N'(k) 所以Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。5.频谱分析的,K拟信号以8kHz被抽样，计算了 512个抽样的DFT试确定频谱抽 样之间的频率间隔，并证明你的回答。分析利用频域抽样间隔Fo和时域抽样频率fs,以及抽样点数N的关系fs=NF。证明,】s'飞由fs = , Fo = -02 二2 二得主=LFo L其中Cs是以角频率为变量的频谱周期，。是频谱抽样之间的频谱间隔。fsFo 一J。Fo

6、对于本题有fs =8kHz , N =512所以Fo = 8000 =15.625 Hz5126.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幕，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 <10 Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试 确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少 点数。分析抽样间隔 T和抽样频率 fs满足fs=1/T,记录长度T。和频域分辨力 F。的关系为T。=1/F。抽样定理为fs a 2 fh(二为信号最高频率分量)，一个记录中最少抽样总数N 满足N二五4TF0F0解:(D1因为T。=,而F0 <10

7、Hz,所以 %.1T 0 s10即最小记录长度为0.1s。11a一(2)因为 fs=M103=10kHz,而T 0.1fs 2fh所以.1 .fhfs=5kHzh 2 s即允许处理的信号的最高频率为 5 kHz。(3) N之五=01父103 =1000,又因N必须为2的整数幕，所以一个记录中的最少点数T 0.1为 N =21° =1024 。7.令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换,(1)证明如果x(n)满足关系式x(n) = -x(N -1 -n),则X(0) = 0(2)证明当N为偶数时，如果x(n)=x(N -1-n),则X(N/2) = 0分析这两个是有限长序列

8、，当x(n)满足关系式x(n) = x(N 1 n)时称x(n)为偶对称序列，偶对称中心为n=(N1)/2;当x(n) = _x(N _1 _ n)时称x(n)为奇对称序列，奇对称中心为n=(N 1)/2。在第七章中会讨论以它们作为单位抽样响应时滤波器特性的情况。证明N J(1)因为 X(k) =£ x(n)W；k , 0 <k < N -1n卫当 x(n) = _x( N _1 _n)时N 1X(k)-x(N -1 -n)RN(n)WNnk n ON 1x(N -1 -n)N RN(n)WN；(N JJ)WNk(NJ) n zQN nk k(N -1) =- x(n)WN Wjn Q可以求得 X(k) = -X(-K)NWN；(NJ)RN(k)当 k =0 时 X(0) = -X ( -0) = -X(0)即X(0)=0(2)依!I(1),当 x(n) =x(N 1 n)时，可得N 1X(k)x(N -1-n