角函数公式及其推导两种方法

1、三角函数公式及其推导1 .三角函数的定义Figure I的正弦值：sin的余弦值：cos 的正切值：tan 的余切值：cot的正割值：sec的余割值：cscbc a c b a由此，我们定义：如 Figure I,在 A ABC中对边,)邻边C )对边()1 1a邻边-()tanbb对边a11c斜边)cosaa邻边c1 1c(斜边)sinbb对边备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写/符号，但用三个子母表示时，不能省略。在本文中，我们只研究 sin、cos、tan。2.额外的定义. 22sin(sin)22cos(cos)2,、2tan(tan)3.简便计算公式sin cos tan.

2、2 sincos A cos(90o)cc sin A sin(90o)bb111aatan A tan(90o)b2 cos 1证明:Q 在 ABC中，ABC2.22a b c22邑-122c c2sin B sinA 122sin cos 1证完90otanbbcsinaacos4.tan2c. 22sin cos22cos cos12- cos任意三角形的面积公式如 Figure II ,16S ABC 二 ah2 1 , -absin C21-acsin B （两边和其夹角正弦的乘积）5.余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与 两邻边积的两倍之比。证明：如

3、Figure II,.2,2b dh2(a2 a2c cos B)2accosB(csin B)22c cos2 . 2 5 c sin B2 =a2ac cos B2/2c (cossin2 B)2accosBcosB2,2c b2ac2ac证完6.海伦公式证明：如 FigureIIC1，Sabc absinC2-ab .1 cos2C 22abi22,22 2a b c2ab1a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2-ab. 12 2214a b1 -ab22, 24442, 22 22 24a b a b c 2a b 2a c 2b c2 24a b2 2444_22_22

4、_221 2 2 4a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c2a b 2 244a b12, 2一 a b4,44 c 2, 2222 2a b c 2a b 2a c 2b c2 24a babcabcbcaabcabc2cabc2babc2aabc2 2 2 2abc2cabc2babc2aabc2222” a b c氏：s=2S ABC7.正弦定理如 Figure III ,c为A ABO接圆的直径，Q sin A acc a 2r （r为ABC的外接圆半径） sin A同理：bcc , c sin BsinCa b c 八sin A sin B sin C2r1 tan tan

5、如 Figure IV,AOCBOCAOB令 AO=BO=r点A的横坐标为xA r cos点A的纵坐标为yA r sin 点B的横坐标为xB r cos点B的纵坐标为yBr sin222AByAyBXaXbr sinr sinr cosr cos2 .2 r sin2.2r sin2r2sinsin22r cos2 cos2r2 coscos. 2 sin. 2 sin2sin sin2 cos2 cos2coscos2 sin2 cos2 sincos22sinsin2coscos2r 1 1 2 sin sin cos cos2r 2 2 sin sin cos cos22r 1 sin

6、sin cos cos由余弦公式可得:_2_22_ AB AC BC 2AC BC cos ACB22r r 2r r cosc 2 c 22r 2r cos2r 2 2cos2r2 1 cos综上得：cossin sin cos cos(2)两角和的余弦coscossin sin cos cossin sin cos coscos cos sin sin两角和的正弦sincos90cos90sin90sincos 90coscossinsincos两角差的正弦sinsincos sin sin coscos sin sin cossin cos cos sin(5)两角和的正切sintanc

7、oscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscos( sin sin1 cos costan tan(6)两角差的正切9.10.tantantantan1 tan tantan tan2 tan tan两倍角公式sin 2 sinsin cos sin cos2sin coscos 2 coscos cos sin sin3 . 2cossin221 2sin22cos21sin 2 tan 2cos 22sin cos2cos sin2sin cos 2cos22 cos sin2cos2sin

8、cos. 2/ sin12cos2 tan1 tan2积化和差公式1sin cos 一 2sin cos21.一sincossincos cos sin cos21一sinsin2sincos cos一 2cos cos21一 cos cos21一 cos2sin sin一 2sin sin 21 .一 sin sin21 cos2cos cos cossin sin cossin sinsin sincos coscos cos11.和差化积公式设：A=a +0 , B=，sin A sin B sinsinsin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos2s

9、in cos 22cos2sinsin A sin B sinsinsin cos cos sin sin cos2cos sincos sin2cos sin2c A B . A B2cos sin 一 22设：cos . a , sin a2 b2b. 2 cos.2sin 1a sin bsina2b2asin a2b2、,a2b2cos sin sin coscosa2b2 sin12.其他常用公式sincostann 3600 sinn 3600 cosn 3600 tansin90coscos90sintan901tansin90coscos90sintan901tansin90c

10、oscos90sintan901tansin180sincos180costan180tansin180sincos180costan180tansinsincoscostantantan2n 190 /、存在11 cos11 sin1cossin13.特殊的三角函数值0 015 1230 一 645460 一 375 1290 2sin0爬&412与 2叵2蕊V241cos1氓五回 2叵212氓加044tan02m昱 3162 V3N/A14.关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中 x用弧度计算135702n 1x x x x _xsin xL1! 3!5! 7!n 2

11、n 1 !02460nx x x xxcosxL0! 2!4! 6!n 2n !推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R( 其中，R为外接圆半径)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC) 带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(

12、A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinACosA对数的性质及推导用A表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数* 表示乘号，/ 表示除号定义式：若 aAn=b(a>0 且 aw 1)则 n=log(a)(b)基本性质：A(log(a)

13、(b)=b(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);(a)(MAn)=nlog(a)(M)推导1. 这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的n=log(a)(b) 带入aAn=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)aAlog(a)(MN)=aAlog(a)(M)*aAlog(a)(N)由指数的性质aAlog(a)(MN)=aAlog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3. 与 2 类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和

14、N)aAlog(a)(M/N)=aAlog(a)(M)/aAlog(a)(N)由指数的性质aAlog(a)(M/N)=aAlog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4. 与 2 类似处理MAn=MAn由基本性质1( 换掉 M)aAlog(a)(MAn)=aAlog(a)(M)An由指数的性质aAlog(a)(MAn)=aAlog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MAn)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下

15、N=aAlog(a)(N)a=bAlog(b)(a)综合两式可得N=bAlog(b)(a)Alog(a)(N)=bAlog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=bAlog(b)(N)所以bAlog(b)(N)=bAlog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a) 这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：(不知道什么名字)log(aAn)8Am尸m/n*log(a)(b)推导如下由换底公式lnx 是 log(e)(x),e 称作自然对数的底log(aAn)(bAm)=ln(aAn)

16、/ln(bAn)由基本性质4 可得log(aAn)(bAm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(aAn)(bAm)=m/n*log(a)(b) (性质及推导完)公式三 :log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下 :由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) 取以 b 为底的对数 ,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sinA2( a )+cosA2( a )=1tanA2( a)+1=secA2( a)C0tA2( a)+1=CSCA

17、2( a),冏的关系：tan a =sin a /cos a cot a =cos a /sin a倒数关系：万能公式：常用的诱导公式有以下几组：sin a - CSC a =1cos a - sec a =1sin a =2tan( a /2)/1+tanA2( a /2)cos a =1 - tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 - tanA2( a /2)终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2k兀 十sin acos (2k 九 +cos atan (2k：t +tancot (2k：t +cot7t的三角函数值与a的三

18、角函数值之间的关系:sin (九 +sincos (九 +cos atan (九 +a ) = tan acot (九 +a ) = cot a任意角a的三角函数值之间的关系：sin ( a ) = sin a cos ( a ) = cos atan ( a ) = tan acot ( a ) = cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a与a的三角函数值之间的关系：sin (九一a ) = sin acos (九一a ) = cos atan (九一a ) = tan acot (九一a ) = cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 与a的三角函数值之间的关系:sin

19、 (2 九一a ) = sin acos ( 2 九一a ) = cos atan (2 九一a ) = tan acot (2九一口)=一 cot a公式六：九/2±a及3九/2±a与a的三角函数值之间的关系：sin(冗 /2+a )=cos acos(冗 /2+a )= sinatan(冗 /2+a )= cotacot(冗 /2+a )= tanasin(九 /2a )=cos acos(九 /2a )=sin atan(九 /2a )=cot acot(九 /2a )=tan acos (3 冗 /2 + a ) = sin atan (3 兀/2 + a) = c

20、ot acot (3 兀/2 + a) = tan asin (3 冗/2 a) =cosacos ( 3 冗 /2 a ) = sin atan (3 兀/2 a) = cot acot (3 兀/2 a) = tan a(以上k e Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1

21、+TanA*TanB)平方关系：sinA2( a )+cosA2( a )=1tanA2( a)+1=secA2( a)cotA2( a)+1=cscA2( a),积的关系：sin a =tan a *cos acos a =cot a *sin atan a =sin a *sec acot a =cos a *csc asec a =tan a *csc aCSC a =sec a *COt a 倒数关系：tan a cot a =1sin a - CSC a =1cos a - sec a =1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比

22、邻边,三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数：cos( a+ B )=cosa - cos B- sina -sinBcos( a- B )=cosa - cos B+sina sinBsin( a ± B )=sin a cos B ± cos a sin Btan( a+ B )=(tana +tan B)/(1-tana -tanB )tan( a- B )=(tana - tan B)/(1+tana tanB ),辅助角公式：Asin a +Bcosa =(AA2+BA2)A(1/2)sin(a +t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost

23、=A/(AA2+BA2)A(1/2) 倍角公式：sin(2 a )=2sin a - cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a 尸cosA2( a ) -sinA2( a )=2cosA2( a ) -1=1- 2sinA2( a )tan(2 a )=2tan a/1 -tanA2( a)三倍角公式:sin(3 a )=3sin a-4sinA3( a)cos(3 a 尸4cosA3( a ) - 3cos a半角公式:sin( a /2)= ±，(1 - cos a )/2)cos( a /2)= ±，(1+COS a )/2)-cos a )/s

24、in atan( a/2)= ±，(1 - cos a )/(1+cos a )=sin a/(1+cos a )=(1降幕公式sinA2( a )=(1 - cos(2a )/2=versin(2 a )/2COSA2( a)=(1+cos(2a )/2=vercos(2 a )/2tanA2( a )=(1 - cos(2a)/(1+cos(2 a)万能公式:sin a =2tan( a /2)/1+tanA2( a /2)cos a =1 - tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 - tanA2( a /2),积化和差公

25、式:sin a- cos B =(1/2)sin(a + 0 )+sin(cos asin 0 =(1/2)sin(a + B ) - sin(cos a- cos B =(1/2)cos(a + 0)+cos(sin asin 0 二-(1/2)cos(a + 0 ) - cos( a - 0 ),和差化积公式:sin a +sin 0 =2sin( a + 0 )/2cos( a - 0 )/2sin a - sin 0 =2cos( a + 0 )/2sin( a - 0 )/2cos + +cos B =2cos( a + B y2cos( a - 0 )/2cos a - cos B

26、 =-2sin( a + 0 )/2sin(- - 0 )/2 其他：sin a+sin( a+2 兀 /n)+sin( a+2 兀 *2/n)+sin( a+2 兀 *3/n)+ +sin a+2 兀 *(n-1)/n=0cos + +cos( a +2 兀 /n)+cos( a +2 兀 *2/n)+cos( a +2 兀 *3/n)+ +cos a +2 兀 *(n-1)/n=0 以及sinA2( a )+sinA2( a -2 兀 /3)+sinA2( a +2 兀 /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容 高等代数中三角函数

27、的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tanx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z) =1 + z/1 ! +zA2/2 ! +zA3/3 ! +zA4/4 ! + + zAn/n ! +此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y"y=y"",有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲

28、函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a0'30'45'60'90'sina01/2，2/2,3/21cosa1,3/2,2/21/20tana0 V 3/31 V 3NonecotaNoneV 31V3/30三角函数的计算幕级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.= Ecnxn(n=0. 0°)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.= Ecn(x - a)n(n=0. 0°)它们的各项都是正整数幕的幕函数，其中c0,c1,c2,. 及a都是常数，这 种级数称为幕级数.泰勒展

29、开式(幕级数展开法)：f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f'(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幕级数：ex=1+x+x2+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-oo<x<oo)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-00 <x<°°)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*

30、4)*x5/5+.(|x|<1)arccosx=兀-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|<1)arctanx=x-xA3/3+xA5/5-.(x < 1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-00 <x<°°)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-00 <x<°°)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|<1)傅立叶级数( 三角级数)f(x)=

31、a0/2+ E(n=0. °°)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/ k f ( k . - k )(f(x)dxan=1/ n f ( n .-冗)(f(x)cosnx)dxbn=1/ 兀 / (兀.-兀)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示为“ Tg”如：TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=CosaA2-SinaA2=1-2SinaA2=2CosaA2-1Tan2a=2Tana/1-TanaA2众所周知, 在数学和物理中, 三角函数是一个重要的工具, 以下是一些推导公式, 希望对大家有作用平方关系：sinA2( a )+cosA2

32、( a )=1 cosA2a=(1+cos2a)/2tanA2( a )+1=secA2( a ) sinA2a=(1-cos2a)/2COtA2( a )+1=cscA2( a),积的关系：sin a =tan a *cos acos a =cot a *sin atan a =sin a *sec acot a =cos a *csc asec a =tan a *csc aCSC a =sec a *COt a倒数关系：tan a - cot a =1sin a - CSC a =1cos a - sec a =1直角三角形ABC中，角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角A

33、的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数：cos( a +3 )=cosa - cos 3 -sin a- sin 3cos( a -3 )=cosa - cos 3 +sin a -sin 3sin( a ±3 尸sina cos 3 ± cos a- sin3tan( a +3 )=(tana +tan 3 )/(1- tan a -tan 3 )tan( a - 3 )=(tan a - tan 3 )/(1+tan a - tan 3 ) 三角和的三角函数：sin( a + 3 + r )=sin a - cos 3 , cos

34、y +cos a - sin 3 ' cos y +cos a - cos 3 , sin 丫 -sin a sin 3 ' sin 丫cos( a + 3 + r )=cos a - cos 3 , cos 丫 - cos a - sin 3 - sin y - sin a - cos 3 , sin y - sin a sin 3 , cos 丫tan( a + 3 + r )=(tan a +tan 3 +tan 丫 -tan a - tan 3 , tan 丫)/(1 -tan a - tan 3 -tan 3 , ta n y - tan y - tan a ) 辅助

35、角公式：Asin a +Bcosa =(AA2+BA2)A(1/2)sin(a +t),其中sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)tant=B/AAsin a +Bcosa =(AA2+BA2)A(1/2)cos( a -t) , tant=A/B 倍角公式：sin(2 a )=2sin a - cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=COSA2( a) - $所人2( a )=2cosA2( a) -1=1- 2sinA2( a)tan(2 a)=2tan a/1 - tanA2( a ) 三倍角公式：sin(3

36、a )=3sin a - 4sinA3( a )cos(3 a )=4cosA3( a ) - 3COS a,半角公式：sin( a /2)= ±V (1 - cos a )/2)cos( a /2)= ±V (1+COs a )/2)tan( a /2)= ±，(1 - cos a )/(1+cos a )=sin a /(1+cos a )=(1- cos a )/sin a 降哥公式sinA2( a )=(1 - cos(2 a )/2=versin(2 a )/2cosA2( a)=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2tanA2( a

37、 )=(1 -cos(2 a)/(1+cos(2 a )万能公式:sin a =2tan( a/2)/1+tanA2( a/2)cos a =1 - tanA2( a /2)/1+tanA2( a /2)tan a=2tan( a/2)/1 -tanA2( a/2) 积化和差公式：sin a-cos3 =(1/2)sin(a+ 3)+sin( a-3 )cos a-sin3 =(1/2)sin(a+ 3) - sin(a-3 )cos a-cos3 =(1/2)cos(a+ 3)+cos( a-3 )sin a - sin 3= -(1/2)cos( a + 3 ) - cos( a - 3

38、) 和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin(a + 3 )/2cos(a-3)/2sin a -sin 3 =2cos(a + 3 )/2sin(a-3)/2cos a +cos 3 =2cos(a + 3 )/2cos(a-3)/2cos a - cos 3 = - 2sin( a + 3 )/2sin( a -3)/2 推导公式tan a +cot a =2/sin2 atan a - cot a = - 2cot2 a1+cos2 a =2coSA2 a1- cos2 a =2sinA2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /242其他：sin a +sin( a +2 u /n)+sin( a+2兀 *2/n)+sin( a +2 u *3/n)+ +sin a +2 u *(n-1)/n=0-1)/n=0cos a +cos( a +2 兀 /n)+COS( a +2 兀 *2/n)+COS( a +2 兀 *3/n)+ +cos a +2 兀 *(n以及sinA2( a )+sinA2( a - 2 % /3)+sinA2( a+2 nt / 3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+