球的表面积与体积(一)

1、假设将圆假设将圆n等分，则等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA(p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3 早在公元三世纪，我国数学家刘徽早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了为推导圆的面积公式而发明了“倍倍边法割圆术边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，割之弥细，所失弥小所失弥小”。这样重复下去，就达。这样重复下去，就达

2、到了到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想。思想。 当分割的当分割的层数不断层数不断增加，每增加，每一层就越一层就越接近一个接近一个圆柱体。圆柱体。OR)1( inR.,2,1,)1(22niinRRri ir设球的半径为设球的半径为R，它的体积只与，它的体积只与半径半径R有关。有关。将半球分割成将半球分割成n层，每一层都近似层，每一层都近似于圆柱形状的于圆柱形状的“小圆片小圆片”。这些。这些“小圆片小圆片”的体积之和就是球的的体积之和就是球的体积。体积。选第选第i层（由下而上），如

3、右图。层（由下而上），如右图。厚度：厚度：下底面半径：下底面半径：体积：体积：Rn 23211ninRnRrVii 12nVVVV半球322222212(1)1 (1)(1)1Rnnnnn3222212(1)Rnnnn32(1)( 21)16nnRn612121222)(nnnn311(1)(2)16nnVR半球1nn当 无限变大时， 趋于0323VR半球343VR球R332RV 半球半球331RV 圆锥圆锥3RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比例例1. 1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. .3336125)25(3434cmR

4、V334RV定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积变式变式1 1：一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径外径是是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.142 34)25(349 . 733x3 .1149 . 73142)25(33x由计算器算得:24. 2x5 . 42 x变式变式2: 2: 有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体一球过

5、正方体的各顶点的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍3321.1.两种方法两种方法: :化整为零的思想方法和化整为零的思想方法和“分分 割割, ,求和求和, ,取极限取极限”的数学方法的数学方法. .2.2.一个观点一个观点: :在一定条件下在一定条件下, ,化曲为直的化曲为直的 辨证观点辨证观点. .3.3.一个公式一个公式: :半径为半径为R R的球的