线性代数正交规范化-文档资料

1、定义定义1 1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx第一节第一节 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、内积的定义和性质一、内积的定义和性质内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx时时有有且且当当 nnyxyxyxyx 2211,令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积定义定义2 2 非非负负性性. 1齐齐次次性性. 2三角不等式三角不等式. 3 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的维维向向量量为为称

2、称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 维维向向量量间间的的夹夹角角单单位位向向量量及及n .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0, 02 时时当当. 的的与与维维向向量量称称为为yxn夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交., 0,与与任任何何向向量量都都正正交交则则若若由由定定义义知知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组

3、为正交向量组量组为正交向量组, 0021111 T由由.01 从从而而有有. 02 r 同同理理可可得得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有r ,21证明证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质正交向量组的性质线性无关.线性无关., , , ,则则非零向量,非零向量,是一组两两正交的是一组两两正交的, , , ,维向量维向量若若定理定理rrn 2121 1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量 121,11121 正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.3 321 , 向量

4、空间的正交基向量空间的正交基., 212121的的正正交交基基向向量量空空间间是是则则称称组组是是两两两两正正交交的的非非零零向向量量且且的的一一个个基基是是向向量量空空间间若若VVrrr 即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx则有则有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.321 ,则有则有0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分别别与与设设 Txxx 规范正交基规范正交基. ,)( , 3212121 的一个规范正交基的一个规范正交基是是则称则称向量向量

5、两两正交且都是单位两两正交且都是单位如果如果的一个基的一个基是向量空间是向量空间维向量维向量设设定义定义VeeeeeeRVVeeenrrnr .212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如12,re ee若是规范正交基， 则1122rreee ,Tiiiee其中（1）正交化正交化，取，取 ，11a2122111,aa ,21的的一一个个基基为为向向量量空空间间若若Vaaar 求规范正交基的方法求规范正交基的方法称称为为这这样样一一个个问问题题价价等等与与使使位位向向量量的的单单就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的一一个个规规范范正正交交基基要要求求的

6、的一一个个基基是是向向量量空空间间设设,21212121rrrreeeeeeVV ., 21范正交化范正交化这个基规这个基规把把r 121121112211,rrrrrrrrraaaa 111,.rrrbb那么两两正交 且与等价（2）单位化，取）单位化，取121212,rrreee.,21的的一一个个规规范范正正交交基基为为那那么么Veeer313233121122,aaa 11 , .rr上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程 称为施密特正交化过程施密特正交化过程例例3.,014,131,121 321量规范正交化特正交化过程把这组向试用施密设aaa解解;11ab 取取bbbaab121

7、2221, 12164131;11135 bbbabbbaab222312133321, 1113512131014.1012 再把它们单位化，取再把它们单位化，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即合所求即合所求eee例例.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 解解. 0, 0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于

8、于是是得得其其中中, 2, , 1,1121 ,1012 a.12121101211103 a定义定义4 4 . , 1正正交交矩矩阵阵为为称称则则即即满满足足阶阶方方阵阵若若AAAEAAAnTT 122333212333221333正交矩阵的性质111.性质 、 正交矩阵的行列式等于 或12AAA .T性质 、 如果 是正交矩阵，则13AA.性质 、 如果 是正交矩阵，则也是正交矩阵性质4、 如果A,B是同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.证明证明TAAEE 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211 为正交矩阵的充要

9、条件是为正交矩阵的充要条件是 的行向量都的行向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交AA ETnTTn ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明,为正交变换为正交变换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则则有有定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换Pxy P1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方