第十一讲四边形学生版

1、学习改变命运，思考成就未来！：62164116第十一讲四边形一、 基础知识1.平行四边形1) 平行四边形定义:有两组对边平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用”2) 平行四边形的性质平行四边形对边相等平行四边形对角相等平行四边形对角线互相平分平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是其对称中心.3) 平行四边形的判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形根据定义判定2.矩形1) 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.2) 矩形的性质矩形是特殊得平行四边,它具备平行四边形

2、所有的性质,除此之外,矩形还有矩形的四个角都相等且为直角矩形的对角线相等矩形还是轴对称图形,有两条对称轴,是它两组对边中点所在的直线.3) 矩形的判定我们可以利用矩形的定义来判定一个四边形是矩形,除此之外,还有:对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形3.菱形1) 菱形的定义:有一组想邻的边相等的平行四边形叫做菱形.2) 菱形的性质菱形是特殊得平行四边,它具备平行四边形所有的性质,除此之外,矩形还有菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角菱形还是轴对称图形,有两条对称轴,是它两条对角线所在的直线.3) 菱形的判定我们可以利用菱形的定义来判定一个四边形

3、是菱形,除此之外,还有:四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线平分对角的平行四边形是菱形4.正方形”表示.特有的性质:特有的性质:1) 正方形的定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.正方形既是矩形,也是菱形.2) 正方形的性质正方形既是矩形,也是菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性质.5.梯形1)梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边叫做梯形.或者说:只有一组对边平行的四边形叫 做梯形.学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 1 of 8学习改变命运，思考成就未来！：621641162) 两腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一个

4、角是直角的梯形叫做直角梯形.3) 等腰梯形的性质等腰梯形是轴对称图形.上下底中点所在的直线是对称轴等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等3)等腰梯形的判定我们可以利用等腰梯形的定义来判定一个四边形是等腰梯形,除此之外,还有:同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形6.中位线1) 三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三 边的一半.2) 梯形的中位线连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线,梯形的中位线平行于梯形的两底,且等于两底和的一半.本专题题趋势为：1. 这一部分在中考重点考查平行四边形、矩

5、形、菱形、正方形的性质与判定，题型多为填空、选择和解 答题，证明题随时出现，但其趋势在逐年减少.2. 梯形的性质是近几年中考的重点,题型多为填空、选择和解答,主要考查学生对基础知识的掌握程度及推理运算能力.3.对称及对称图形这一知识点近几年在中有逐年增加的趋势,是今后中考的热点,预计这类题的比重将越来越大.目前题型多为填空、选择,将来也有可能为开放性的图案设计题,这是中考的一个方向.二、 例题1.选择题1)(2004.海口)如图 12-1,在 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于 O.如果 AC=12,BD=10,AB= m ,那么Dm 的取值范围是A.1 < m < 11

6、C.10 < m < 12A()B. 2 < m < 22D. 5 < m < 6OCB图 12-1,AB 的垂直平分线交对角线ACD2)(2004.重庆)如12-2,在菱形ABCD 中, ÐBAD = 80连结 DF,则ÐCDF 等于F,E 为垂足,)(A. 80°B. 70C图 12-2AFC. 65D. 60EB3)(2004.北京)如图 12-3 在菱形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,作 EF / BC ,交 ACF.如果 EF=4,那么 CDA的长为A.2C.6()B.4EDD.8FBC学生版图 12-3学而思教

7、育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲Page 2 of 8学习改变命运，思考成就未来！：621641164)(2004.河北)如图 12-4,在梯形ABCD 中, AD / BC ,对角线 AC BD 且AC=12,BD=9,则梯形的中位线长是()A212DA.10B.152C.D.12CB图 12-45)(2004.黑龙江)若等腰梯形的三边长分别为 3,4,11,则这个等腰梯形的()A.21B.29C.21 或 29D.21 或 22 或 296)(2004.苏州)如图 12-5,梯形 ABCD 的对角线交O,以下四个结论:始终正确的有 () DAOBDCOD; DAODDACB;DC=

8、DC : AB; SDAOD = SDBOC ,O SDDOC : SDAODA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个AB图 12-57)(2004.杭州)如图12-6,E,F,G,H 分别是正方形ABCD 各边的中点,要使中间阴影部分小正方形的面积为5,则大正方形的边长应该是()HDAA. 2 5B. 35GED. 5C.5BCF图 12-68)(2002.河北)如图 12-7,E 是边长为 1 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点,且 BE=BC,P 为CE 上任意一点, PQ BCQ, PR BER,则 PQ+PR 的值是()22123223A.B.C.D.DADA120C45BCBQ

9、图 12-8图 12-7学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 3 of 8ERP学习改变命运，思考成就未来！：621641169)(2004.)下列说法中,错误的是()A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.四个角都相等的四边形是矩形B.两条对互相垂直且平分的四边形是菱形D.邻边相等的四边形是正方形.10)(2003.重庆)已知,如图 12-8,梯形 ABCD 中, AD / BC , ÐB = 45° , ÐC = 120 , AB = 8 ,则 CD 的长(为)8 6A.38 2C.3B. 4 6D. 4 22.(杭州“求是杯”竞

10、赛)如图 12-9,以DABC 为边 AB,AC 为腰直角三角形 ACE,O 为 DE 的中点,OA 的延长线交 BC 于 H.外作等腰直角三角形 ABD,和等求证: OA BC .DOE1A3C2HB图 12-9E3.(北京数学竞赛)如图 12-10,在 DABC 中, ÐACB = 90 , ÐBAC = 30分别以 AB,AC 为DABC 的外侧作正 DABE 和 DACD ,DE 与 AB 交于 F,求证:EF=FD.BACD图 12-104.(第九届“希望杯”数学邀请赛)如图 12-11,在 ABCD 中, ÐABC = 75 , AF BC, 垂足为F

11、,AF 交 BD 于 E,若 DE = 2AB ,求ÐAED 的度数.DAEBCF图 12-11学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 4 of 8,学习改变命运，思考成就未来！：6216411652,自顶点 D 作 DE AB , DF BC ,E,F5. (1997.竞赛)已知平行四边形 ABCD 的为垂足.若 DE = 5, DF = 8 ,求 BE + BF 的长.6.(1991.第四届“祖冲之”数学邀请赛)如图 12-13,点 M,N 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上.已知 DMCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半,求ÐM

12、AN 的度数.NDCMAB图 12-137.(1981.北京数学竞赛)如图 12-14,正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,F 是 DA 的中点,连结 BE 与 CF 相交于 P,求证:AP=AB.EDCFAB图 12-148.(1991.)如图 12-15,正方形 ABCD 中,AK 和 AN 是ÐDAB 内的任意二射线. BK AK ,BL AN , DM AK , DN AN ,试证: KL = MN.DCAB图 12-15学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 5 of 8NKLMP学习改变命运，思考成就未来！：621641169.(1999.第

13、十届“希望杯”邀请赛)如图 12-16,在等腰梯形 ABCD 中, CD / AB ,对角线 AC, BDDC相交O , ÐACD = 60 ,点 S , P, Q 分别为OD, OA, BC 的中点.SOQ(1)求证: DPQS 为等边三角形;(2)若 AB = 5, CD = 3, 求 DPQS 的面积;(3)若 DPQS 的面积与 DAOD 的面积的比是 7:8,求梯形上,下两底的比CD : AB .PAB图 12-1610.(1995.)如图 12-17 在梯形 ABCD 中, AB / CD ,ABS1Os2记 S梯形 = S, SDAOB = S1, SDDOC= S2

14、,S1 +S2 与 S 的大小,并说明理由.试DC图 12-17补充：例1.正方形 ABCD 的边长为 a求内接正三角形 AEF 的边长学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 6 of 8学习改变命运，思考成就未来！：62164116例 2 如图已知：四边形 ABCD 中，ABDADB15 o ,CBD45 o ，CDB30 o求证：ABC 是等边三角形例3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。AD三.练习题1.(2004. 重庆 ) 如图NMD 是 DABC 的边12-18, 已知AB上一点, CN / AB ,DN 交 AC 于 M.若

15、 MA=MC,求证: CD = ANCB图 12-18ED2.(2005.湖州)如图 12-19,在平行四边形 ABCD 中,CÐB, ÐD 的平行线分别交对边E, F ,交四边形的对角GHG, H .求证: AH = CG .(并写出依据的定理)线 ACA图 12-19BFP3.(2004.重庆)如图 12-20,已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB = DC , AD / BC , PB = PC .求证: PA = PD .ADBC图 12-20学而思教育06 年秋季班讲义初三联赛班第十一讲学生版Page 7 of 8学习改变命运，思考成就未来！：621641164

16、.(2004.呼和浩特)如图 12-21,已知梯形 ABCD 中, AD / BC ,AD = 2, BC = 4 ,对角线 AC = 5, BD = 3 ,试求此梯形的面积.ADBC图 12-21F5.(2005.陕西)如图 12-22,直线CF 垂直且平分 ADE,四边形 ADCB 是菱形,BA 的延长线交 CEF,连结 AC.图 12-22(1) 图中有几对全等三角形,请把它们都写出来; (2)证明: DABC 为正三角形.证明: (1)图中有 4 对全等三角形,分别为DABC DCDA , DAEF DDEC ,DDEC DAEC , DAEF DAEC .(2) CF 垂直平分 AD , AC = CD .又 四边形 ABCD 是菱形, AB = BC =