数学试卷2020欣迈高数密押卷

1、浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2020 年浙江专升本高等数学10 套密押卷（九）请考生按规定用笔将所有试题的涂、写在答题纸上.选择题部分注意事项:1.答题前，考生务必将规定的位置上.的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸2.每小题选出后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它标号.不能答在试题卷上.一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. f ( x ) x - x01.若连续函数 y = f ( x ) 满足 lim= 1 ,则

2、当 x ® x0 时，该函数在 x = x0 处的微分 dyx®x0是（）A. 与Dx 同阶不等价的无穷小B. 与 Dx 等价无穷小C. 比 Dx 高阶的无穷小D. 比Dx 的低阶无穷小æö1ç ex + e ÷ tan xèø2.函数 ( )x =f x =-pp,在区间上的第一类间断点是（）æö1x ç e x - e ÷èøC. - p2pD.2A.0B.13.下列级数中条件收敛的是()(-1)n(-1)n n(-1)n(-1)n+1¥A.

3、 奥¥åååB.C.D.n=1 n (n +1)n +1n 2nn=1n=1n=14.设 y = y ( x ) 是系数微分方程 y ¢ + py¢ + qy = esin x ，满足初始条件 y (0) = y¢(0) = 0ln (1 + x2 ) y ( x )f ( x ) =的特解，则当 x ® 0 时，函数的极限()A.不存在B.1C.2D.31浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌ìx - y + z = 1í5.设直线

4、 L 的方程为，则 L 的参数方程为（）2x + y + z = 4îìx = 1- 2tìx = 1- 2tï y = 1+ tïB. y = -1+ tííA.ïz = 1+ 3tïz = 1+ 3tîìx = 1- 2tîìx = 1- 2tïC. y = 1- tïD. y = -1- tííïz = 1+ 3tïz = 1+ 3tîî非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔

5、或钢笔将写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.ì 1- etan xx > 0在f ( x ) = ïarcsin x ,x = 0 处连续，则 a = í6.设函数2ïïîae2 x, x £ 017.设函数 f ( x ) = ax , (a > 0, a ¹ 1) 则limln é f (1) f (2 )L f (n )ù =ë

6、;ûn®¥ n2n2019= A( A ¹ 0 ) ,则k =8.已知lim n®¥ nk - (n -1)kx + 4 sin x9.曲线 y =的水平渐近线方程为5x - 2 cos x10.曲线 y = ( x -1)2 (x - 3)2 的拐点个数为 11.位于曲线 y = xe- x ， x Î0, +¥) 下方， x 轴上方的图形的面积是 1，则 y(n) (0) =12. 设函数 y =2x + 3p2(òdx = 13.p2-y (1- x )x14.微分方程 y¢ =的通解为

7、2浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌15设 a = (2,1, 2) , b = (4, -1,10) ， c = b - la ，且 a c ,则l= 三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写的不给分.2x.16.计算极限 limx®+¥ xìïln (1+ ax), x ³ 017.设 f ( x ) = í，已知函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导，求 a 的值., x < 0

8、ïî1- e2 xìïx = ln 1+ t 2dy所确定的函数的一阶导数及dxd 2 yí18.求由参数方程导数.dx2y = arctan tïîò19.求不定3浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌( )( )( )( )f x( )òf x0, +¥f 0 = 0g xg t dt = x e2 x20.设函数在上可导，且其反函数为.若,0求 f ( x ) .f ( x ) = a sin x + 1 sin 3x 在 x = p处取到极值？它是极大值还是极

9、21.问 a 为何值时，函数小值，并求此极值.33¹ 0ì1+22.设 f ( x ) = ï,试将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数.íxïî1, x = 023.求过点（-1，0，4），且平行于平面3x - 4 y + z -10 = 0 ,又与直线 x +1 =y - 3 = z112相交的直线方程.4浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分.æ1 öx( )24.证明函数 f x = 1+在区间（0， + ）为增函数

10、。ç÷èxø25. 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线，该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成的平面图形 D。（1） 求 D 的面积。（2） 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得的旋转体体积V26.设函数 f ( x ) 在闭区间a, b 上连续，在开区间(a, b) 内可导，且 f ¢( x ) > 0 ， 若极限f (2x - a )x - alim存在，试证明：x®a+（1）当 x Î(a,b ) ，函数 f ( x ) 恒大于 0；b2 - a22xf (x) ；() ，=xÎ a

11、, b（2）至少存在一点bf ( x )dxòabòf ( x )dx2xf ¢(h)(b - a)（3）在(a, b) 内存在与（2）中x相异的点h，使得=×22。 ab2 - a2x- a5浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2020 年浙江专升本高等数学10 套密押卷（九）参考与一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【】B【知识点】函数极限与微分的概念【】由极限 lim f ( x ) = 1 可得， limf ( x ) = 0 ，且f

12、( x ) 为连续函数，故x - x0x®x0x®x0 f ( x )0 ) ，那么 limf ( x ) - f (x0 ) =) =1。即 df ( x ) = 1，f ( x ) = 0 =(xf ¢( xlimx®x0f= limx - x0x - x00x®xx®xdx00函数在 x = x0 处的微分为df ( x )x= x0= f ¢(x0 )Dx 。f ¢( x0 ) Dxf ¢( x0 ) =1 ，等价无穷小，选 A。=故 limDx】ADx®02.【知识点】间断点的分类【】

13、明确第一类间断点的定义为左右极限均存在的间断点。æöæöæö111ç ex + e ÷ tan xç ex + e ÷ xç ex + e ÷lim èø= lim èø = lim èø(直接代入极限计算) 1=æöæöx®0+ æö111x®0+x®0+x ç e x - e ÷x ç e x

14、- e ÷ç ex - e ÷èøè1øèøæöæöæö11ç ex + e ÷ tan xç ex + e ÷ xç ex + e ÷lim èø= lim èø = lim èø(直接代入极限计算)=-1æöæöx®0- æö111x®0-x&#

15、174;0-x ç e x - e ÷x ç e x - e ÷ç ex - e ÷èøèøèø左右极限都存在，故 x = 0 为函数 f ( x ) 的第一类间断点。故选 A。3.【】D【知识点】级数敛散性的(-1)n¥】根据定义，A 选项绝对收敛，B 选项发散，C 选项绝对收敛，D 选项ån=1【n6浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌(-1)n11n¥= 0 ；得出ån=1定理：（1）un+1 =&l

16、t; ulim u = lim先根据（2）收nnn +1n®¥n®¥n(-1)n¥1¥敛， å发散，故级数ån条件收敛。nn=1n=14.【】C【知识点】求极限，微分方程的定义【】根据定义，将特解 y (0) = y¢(0) = 0 代回微分方程，求出所对应的 y ¢(0) = 1 ，则ln (1 + x2 ) y ( x )x2 y ( x )2x y¢( x )2y ¢( x )= lim= lim= lim极限lim=2，故选 C。x®0x®0x&#

17、174;0x®05.【】A【知识点】求直线方程ri12rj-1 1rk11ìx - y + z = 1®= (-2,1, 3) ，方程，s =【】已知直线方程为 í，先转换为î2x + y + z = 4将 x = 1 代回原式，得出 y = 1， z = 1。故直线过点(-1,1,1) 。得出直线方程为ìx = 1- 2tx -1 = y -1z -1ï=y = 1+ tí，将其转化为参数方程，故选 A。（注：若取点不同，参数-213ïz = 1+ 3tî方程也会不同，但可以在保证方向向量不变

18、的前提下代入具体点去比较）二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.6. 【】a = -2【知识点】利用连续性定义求参数。f ( x ) = lim(x ) =(0 ) ，【】已知 f ( x ) 在 x = 0 处连续，则 limffx®0-x®0+lim - tan x1- etan xlimf ( x ) =-2 x= x®0+x= -2 =limlim ae， a = -2 。x2x®0+arctanx®0-x®0-217.【】 ln a2【知识点】定的定义求极限】将 f ( x ) = ax 代入极限，

19、【7浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌1limln é f (1) f (2 )L f (n )ùëûn®¥ n2= lim(ln a + ln a2 + Lln an )1n®¥ n2= lim 1 × (ln a + 2 ln a +L+ n ln a )n®¥ nn= lim 1 × (1+ 2 +L+ n) ln an®¥ nn¥= lim 1 × å i ln an®

20、5; nn=1 n11ò=x ln adx =ln a2】202008.【知识点】求极限【】根据抓大头法则可得出多项式 nk - (n -1)k 最高项次数为 2019，结合二项式定理推出 k=2020。15y =9.【】【知识点】求渐近线方程。= 1 ，故水平渐近线为 y = 1 。】水平渐近线lim f (【55x®¥10.【】2【知识点】求拐点2 - 24x + 9 ， y¢ = 4【】 y =- 24 ，y ¢ = 12x2 - 48x + 44 ，故有两个拐点。11.【】1【知识点】定求面积。+¥0+¥ò

21、= éù= 1- x-xe dx【】由题意得，该图形面积为ëû02n3】(-1)nn!12.【n+1【知识点】n 阶导数推导【】求 n 阶导数可利用公式或者递推。y¢ = (-1)× 2 (2x + 3)-2 ， y ¢ = 1× 22 × 2 (2x + 3)-3 ， y ¢ = (-1)3 × 23 × 2 × 3 (2x + 3)-4 ，8浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2n(2x + 3)2n3n+1(n)= (-1)nn+

22、1 。 y(0) = (-1)(n)yn!nn!。p813.【】【知识点】定的计算pp2】(cos2 x )dxòò=dx2【p2p2-pppp()= 2 2=被积函数的奇偶性=òòòò2 sin 2 x cos2 xdx2x 1 -sin x dx2 2 sin 2 xdx - 2 2 sin 4 xdx22sin00001 p3 1 p = p公式2 ××- 2 ×××=2 24 2 2814.【】 y = Cxe- x【知识点】可分离变量的微分方程dyy (1- x )=【】，d

23、xxdy(1- x)分离变量得方程：=dx ，yx= lnx + C1 ，对方程两边同时得lnyy = Cxe- x15.【】3【知识点】向量的计算【】由题意推得 c = (4 - 2l, -1- l,10 - 2l) ， a c ，故 a × c = 0 ，即(8 - 2l) + (-1- l)+ (20 - 2l) = 0 ，l= 3 。三、计算题：本题共有 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60分.计算题必须写出必要的计算过程，只写的不给分.16.【】2【知识点】极限的计算【】解：当 x ® +¥ 时，显然有

24、，2， lim 2x = 2 ， lim2x可推出 lim= 2 ，-1x®+¥ x -1xx®+¥9浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2x= 2由准则可得 lim.（7 分）x®+¥ x17.【】 a = -2【知识点】利用可导性求参数。 0 = lim 1 = 0 = lim【】 0 0 0 0 =ln 1 + ax = 0 = limlim+ 0 0+ 0+ a = f (Dx ) - f (0)Dx-2DxDx1- e2Dx( )f ¢ 0=lim-2 ，limlim-DxDx

25、4;0-Dx®0-Dx®0-f (Dx ) - f (0) = lim ln (1 + aDx ) =lim aDxf ¢ (0) = lim= a = -2 。.（7 分）+DxDxDxDx®0Dx®0+Dx®0d æ dy ödy1ç dx ÷ dt】=， d 2 ydx21+t 218.【= èø= -dtdxdxtt3【知识点】参数方程求导dy】=1dx，=t【；dt1+ t 2dt1+ t 2dy = 1 ；dxt.（3 分）d æ dy ö&#

26、231; dx ÷ dt1+t 2d 2 ydx2= èø= -dtdx.（7 分）。t3f ¢(x) = ìï2(ln> 0, x < 0í19.【】( x +1)exïî【知识点】求不定1 (2x - 6)【】 ò= ò= ò10浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌-3 + C21 ln (=.（7 分）2f ( x ) = ex + xex - 120.【】【知识点】求函数表达式【】等式两边对 x 求导得：¢( )&#

27、233;ùúûg éë f ( x )ùû × f ¢(x )f x( )ò= 2g t dtêë 0由反函数性质可得 g éë f ( x )ùû = x所以f ¢( x ) = 2ex + xexf ( x ) = ò(2ex + xex )dx = 2ex + xe x +C故又因为 f (0) = 0 ，故C = -1 。故 f ( x ) = ex + xex - 1.（8 分）f æpö

28、; =3ç 3 ÷21.【】èø【知识点】求极值¢ p= a -1 = 0 ， a = 2 ；f ¢( x ) = a cos x + cos 3x ，f ( )【】32f ¢æ pö = -3 < 0 ，故当 a = 2 时， f ( x ) 在 x = p处有极大值。ç 3 ÷èø3f æpö =3ç 3 ÷.（8 分）èøn¥1( x2n + x2n +2 )】å(-1)22

29、.【2n +1n=0【知识点】将函数展开成幂级数n¥1】因为arctan x = å(-1)n=0x 2n+1【2n +1nn1+¥¥11å(-1)n=0+ å(-1)n=0=2n +22n2n +1 x2n +1 x1110 套密押浙江专升本卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌n¥1( x+ x)å(-1)=2n2n +2.（8 分）2n +1n=0x +1yz - 4】=23.【161928【知识点】求直线方程【】记所求直线为l1 ，已知方程的直线为l2 。ìx = t -1x +1y - 3

30、z：=ïy = t + 3将直线方程lí转化为参数方程，设两直线交点为2112ïz = 2tî(t0 -1,t0 + 3, 2t0 )已知l1 过点(-1, 0, 4) ，可得到l1 的方向向量 s1 = (t0 ,t0 + 3, 2t0 - 4 ) ，直线l1 平行平面3x - 4 y + z -10 = 0 ，故 s1 n ，即 s1 × n = 0 ， 3t0 - 4 (t0 + 3) + 2t0 - 4 = 0 ，.（6 分）x +1方程为：=y = z - 4= (16,19, 28) ，故直线lt = 16 ， s.（8 分）011

31、161928四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分.24.【知识点】导数的应用（讨论单调性），复合函数的求导】证明单调递增即证明函数一阶导数大于 0，函数 f ( x ) 为幂指函数，即为复合函数。【xxù æ1+ 1 öf ( x ) = æ1+ 1 öæ 1 öf ¢(=x ln 1+ç x ÷，ú çx ÷.（2 分）çx ÷eèøû èøèø&#

32、230;1 öx恒大于 0，设 g (，只需讨论 g ( x ) 正负即可；由于ç1+÷èx ø-1 1(1+当 x > 0 （自然定义域）， g¢(+)，2即当 x > 0 , g ( x ) 单调递减。.（8 分）g ( x ) = 0 ，故当 x > 0 ， g ( x ) > 0f ¢( x ) > 0 ，f ( x ) 单调递增。（10 分）lim，x®+¥故证毕。25.【知识点】定的应用12浙江专升本10 套密押卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌【】解（1）设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是0 )y