不等式基本性质

1、高中代数 (必修)专题一 不等式在中学数学内容占有重要的地位，同样在高考中也占有一席之地。所以学好它是非常必要的，不管是为了学习知识，还是准备考试。 这个专题主要是对一元不等式以及可化为一元不等式的不等式的解法的探讨与总结，指导以后的学习以及考试。 我相信当你看了这个专题，会觉得对你有一定 的帮助， 当然它也存在一些问题，希望大家说出来并告诉我。注 意三.二次不等式的解法五.绝对值不等式的解法四.高次不等式的解法一.复习六.小结二.一次不等式的解法不等式的基本性质不等式两边加上同一个数或同一整式，不等式 方向不变。不等式两边都乘以同一个正数，不等式方向不变。不等式两边都乘以同一个负数，不等式方

2、向改变。结合律分配律交换律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a(b+c)=ab+bc(ab)c=a(bc)ab=ba基本运算规律：回主选单回主选单不不 看看 了了一元一次不等式的解法由ax b 则当a0当a5 2x-5由得 x则由、 得其交集为x xb的不等式。定义:abab35253525则x则x0,ac4b2,方程0cbxax2注意：对于二次方程组即首先求出每个方程的解集，即设为A1，A2， A3， Am，然后对A1，A2，A3，。Am求交集可得解集，则该解集就为该一元二次方程组的解。回主选单回主选单不不 看看 了了解不等式3x2+4x+50解解：由b24ac=16345= 44

3、例：例：解不等式组2x2+5x-33x2+7x+4解解：对首先令2x2+5x3=0得x1=3,x2=则由表中知方程的解集为A1=x 3x 对有3x2+7x+4=0的x1= ，x2=1则由表可知方程的解集为a2=x x1, x 由数轴知B=A1A23421343x2+4x+5恒大于零则原不等式解集为xR21例：例： 首先对不等式进行标准化处理及将方程的最高次化为正数，再将f(x) 分解 为若干个因式的乘积。且将恒大于零的因式去掉，然后将奇次的因式取一次。令f(x)的根从小到大排列得x1,x2,.,xm 。一元高次不等式的解法 先将x1,x2,.,xm标在数轴上，在确定xx1时的正负在确定曲线的位

4、置后依次用曲线通过每一点。再检查所有f(x)根所在的位置是否符合不等式即可求出方程的解当然也可用列表法求解（见例题）。注意：对于一元高次不等式组则先求出每个方程的解，在求 其交集即可得其解集。x1x2x3.xm例例 ：解：先标准化得(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4)0则其根分别为-5,-3,-2,1,4-5x+5x+3x+2x-1x-4-y-3-214则列表可得：求y=(x-1)(x+3)(2+x)(4-x)(x+5)0+再考虑等号的情况则得-y的解为x(-,-5-3,-21,4又由显然-y0与y0同解，则y的解为x(-,-5-3,-21,4再用数轴标根法求解本题则其根为-5,

5、-3,-2,1,4又由当x-5时(x+5)(x+3)(x+2)(x-1)(x-4)0再考察等号的情况即x1=-5,x2=-3,x3=-2,x4=1,x5=4成立则 y的解为x(-,-5-3,-21,4注意注意：对于一元高次不等式我们可以用数轴标根法与列表法求解，-5 -3 -214解：解：我认为列表法简单，我倾向于列表法。则如图所示但是由于数轴标根法要考虑在某一区间不等式值的大小，回主选单回主选单不不 看看 了了含绝对值不等式的解法定义定义：含绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。由于绝对值的性质使绝对值不等很难直接求解，则我们应由绝对值的基本性质：x0) 则有-axa(a0) 则有xa把它转化为

6、易于求解的不等式或不等式组求解。显然绝对值式子的零点相当重要，对某个绝对值零值点为分界点分段，这样在某一个区间段内绝对值式子可变为不等式或不等式组。后将求得的结果与前面分段的区间求交集，后再对几个不同分段的区间求并集，则得该绝对值不等式的解集。解不等式组解不等式组2325xx5153xx解解： 由得式中绝对值中的式子零点为-5、 ，则可化为(-,-5),-5, ), ,+)三个区间23当x(-,-5)时原不等式可化为-5-x+3-2x2 得x- ,即x(-,-5)当x-5, )时原不等式可化为8-x2， 得 x7， 即x-5, )3423232323当x( ,+)时原不等式可化为3x+22, 得x0, 即x( ,+)2323由得零点为 ,1。35则 当x(-,- )时 得x- 即x- ,- 3521121135当x- ,1)时 得x 即x- , 当x1,+) 时 得x 即x3535414121则可得解集为xR可得x- , 21141由,的解集得方程组的解集为x- , 21141例：例：不等式解法的两个极其重要的思想:转化求根即将绝对值不等式即其他不等式向