课时跟踪检测(二十一)小题考法——导数的简单应用

1、素材来源于网络，林老师编辑整理课时跟踪检测(二十一)小题考法一一导数的简单应用A组10 + 7提速练一、选择题1 .设 f(x)=xln x, f' (xo)= 2,则 xo=()A. e2B. e小n 2r , cC.2D. In 2解析：选 B (x)=1+ln x,，f' (xo)=i + in xo = 2,，xo=e,故选 B.2 .函数f(x) = excos x的图象在点(0, f(0)处的切线方程是()A. x+y+1 = 0B. x + y1 = 0C. x-y+1 = 0D. x-y- 1= 0解析：选 C 依题意，f(0) = e0cos 0=1,因为 f

2、' (x)=excos x exsin x,所以 f' (0)=1,所以切线方程为 y-1 = x-0,即x-y+1 = 0,故选C.3.已知 f(x) = Rx,则() xA. f(2)>f(e)>f(3)B. f(3)>f(e)>f(2)C. f(3)>f(2)>f(e)D, f(e)>f(3)>f(2)解析：选Df(x)的定义域是(0, 十°°),1 In xf，(x) = x. xC(0, e), f' (x)>0;x (e, 十 °°),(x)<0,故 x =

3、e 时，f(x)max =f(e) .ln 2 ln 8 ln 3 ln 9而 f=2 = 6 ，f=3 = 6 .f(e)>f(3)>f(2),故选 D.4.已知函数f(x)的定义域为(a, b), f(x)的导函数f' (x)在(a, b)“ 厂(G上的图象如图所示，则函数f(x)在(a, b)上的极大值点的个数为()T 八/ LA. 1B, 2"£C. 3D. 4解析：选B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f' (x)在(a, b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x=0不是函数f(x)的极值点，其余的 3个交点

4、都是极值点，其中有 2个点附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.5.已知函数f(x)=x25x+2ln x,则函数f(x)的单调递增区间是()1A.0,2和(1,+8)B.(0,1)和(2, +8)1 C.0,2和(2,+8)D.(1,2)2斛析：选 C 函数 f(x)= x2 5x+ 2ln x 的te义域是(0, 十 °°),令 f (x) = 2x5+ -= x1力0, 2和2x? 5x +2 x 2 2x 1a=>0,解得 0Vx<或x>2,故函数 f(x)的单调递增区间是 xx2(2, + 8).6 .已知函数f(x)=x3px2qx的图象与x

5、轴切于点(1,0),则f(x)的极大值、极小值分别为()427'B. 0,427C.27，0D. 0,273 2p 一 q = 0,解析：选 C 由题意知，f' (x) = 3x2 2pxq,由 f' (1)=0,f(1)=0,得1 p q= 0,p = 2,1解得.f(x)= x3 -2x2+ x,由 f' (x)= 3x24x+1 = 0,得*='3或*=1,易得当 xq = -1,3=；时，f(x)取极大值4-,当x=1时，f(x)取极小值0. 32 77 .已知f(x)的定义域为(0, +8),(x)为f(x)的导函数，且满足 f(x)<

6、xf' (x),则 不等式f(x+ 1)>(x- 1) f(x2- 1)的解集是()A. (0,1)B. (1, +oo )C. (1,2)D. (2, +oo )解析：选D 因为f(x) + xf' (x)<0,所以xf(x)' <0,故xf(x)在(0, +oo)上为单调递减 函数，又(x+ 1)f(x+ 1)>(x2- 1) f(x2- 1),所以 0<x+1<x2 1,解得 x>2.1 i -8. 设函数 f(x) = "x- In x(x>0),则 f(x)()3A.在区间1, 1 , (1, e)上均

7、有零点 eB,在区间",1 , (1, e)上均无零点 eC,在区间1, 1上有零点，在区间(1, e)上无零点 eD.在区间1, 1上无零点，在区间(1, e)上有零点 e解析：选D 因为f' (x)=： 所以当xC(0,3)时，f' (x)<0, f(x)单调递减，而 0 3 xe<1<e<3,又 f 1 =2+1>0, f(1) = 1>0,f(e) = f-1<0,所以 f(x)在区间1,1 上无零点，e 3e33e在区间(1, e)上有零点.9. (2018杭州第二次教学质量检测 )已知a>0且aw 1,则函数

8、f(x)= (x a)2ln x()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值解析：选C f(x)有两个零点a和1,若a<1,由于函数值在(0, a)为负，(a,1)为负，(1, + 8)为正，故a为极大值点，在(a,1)上必有极小值点；若a>1,由于函数值在(0,1)为负，(1, a)为正，(a, +8)为正，故a为极小值点，在(1, a)上必有极大值点，故选 C.10. (2017浙江“超级全能生”联考)设f(x), g(x)分别是定义在( 8, 0) U (0 , +8) 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f (x

9、) g(x)+3f(x) g' (x)>0, g(x)w0,且 f(-3)=0,则 不等式f(x) g(x)<0的解集是()A. (-3,0)U (3, +8 )b. (- 3,0)u (0,3)C.(巴 3)U(3, +8)D. ( 8, 3) u (0,3)解析：选D 构造函数F(x)= f(x) g3(x),则 F' (x)=f' (x)g3(x)+3f(x)g2(x)g' (x) = g2(x)f' (x)g(x)+3f(x)g' (x)>0,所以F(x)在(8, 0)上单调递增，显然F(x)为奇函数，所以其在(0, +

10、8)上单调递增.而 F(-3) = f(-3) g3(3)=0= F(3).所以 F (x)<0 的解集为(一8 , - 3) U (0,3),一 F x.一 八,一，即力一<0的解集为(8, - 3)U(0,3).故选D.g x二、填空题11 .已知函数f(x) = x3 + 2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a =,此时函数y=f(x)在0,1最小彳1为 .解析：由 f(x)=x3+2ax2 + 1,得 f' (x) = 3x2+4ax,因为函数f(x) = x3 + 2ax2+1在x= 1处的切线的斜率为 1,一,一-1所以 f (1)=1,即 3+4a=

11、 1,斛得 a= - 2.所以f' (x)=3x2-2x,当xC 0, 2时，f' (x)<0,函数f(x)单调递减，当xC今1时， 33f' (x)>0,函数f(x)单调递增,223所以函数y=f(x)在0,1取小值为f - =.32 7答案：1 2712 .已知函数f(x)= e2+ 3x-4=0在(t, t + 1)上有解， x. g(x)=x2+ 3x-4= 0在(t, t+1)上有解,由 x2+3x 4=0,得 x=1 或 x=4(舍去),.1 s (t, t+1),即 te (0,1),故实数t的取值范围是(0,1).答案：(0,1)mx+1的图

12、象为曲线 C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切 线，则实数m的取值范围是.解析：函数f(x)的导数f' (x)=ex-m,即切线斜率k=ex-m,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则满足(exm)e= 1,即exm =一工有解，即m=ex+1有解，.ex+3> eee1, .m>；. e' e- 一 1答案：一，+°° e1 C13. (2018绍兴模拟)已知函数f(x) = -x2-3x + 4ln x在(t, t+1)上不单倜，则实数 t 的取值范围是.1 C斛析：函数 f(x)= - 2x23x+4ln x,一，-4 4 f (x)

13、= x 3 + , x1c函数 f(x) = 2x23x+4ln x 在(t, t+1)上不单倜，一，一 4.-f (x) = x3 + 一=0 在(t, t+1)上有解， x14. (2018湘中名校联考)已知函数g(x)=a-x2 -<xwe, e为自然对数的底数与h(x)e= 2ln x的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是 .1斛析：由题忌，知方程 x2a=2ln x,即一a=2ln x x2在口 e上有解.设f(x)=2ln x e-x2,则 f' (x) = 2 2x = - 2 x+ 1 x-易知 xC 1 时 f' (x)>0, xC

14、(1, e时 f' (x)<0 , xxe,1所以函数f(x)在1上单倜递增，在(1, e上单倜递减，所以f(x)极大值=f(1) = 1,又f(e) e=2-e2, f 1= - 2- 12,f(e)<f 1,所以方程a= 21n x-x2在 1,e 上有解等价于2e2weeee-a< -1,所以a的取值范围为1, e22.答案：1, e2215 .已知函数f(x)=ex+m1n x(mCR, e为自然对数的底数),若对任意正数 xb x2,当x1>x2时都有f(x1)一 f(x2)>x1 x2成立，则实数 m的取值范围是 .解析：函数f(x)的定义域为

15、(0, +8).依题意得，对于任意的正数x1, x2,当x1>x2时，都有f(x1)一x1>f(x2)x2,因此函数g(x)=f(x)x在区间(0, + 8)上是增函数，于是当 x>0时，g' (x) = f' (x)1=ex+m1 1>0,即 x(ex1)> m 恒成立.记 h(x) = x(ex-1), x>0, x则有 h' (x)=(x+1)ex1>(0+1)e°1=0(x>0), h(x)在区间(0, + 8)上是增函数,h(x)的值 域是(0, 十 °°),因此一mW0, m>

16、;0.故所求实数 m的取值范围是0,+8).答案：0, +8)x3 3x, x< a,16 .设函数f(x) =2x, x>a.(1)若a=0,则f(x)的最大值为 ;(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 .解析：由当 xwa 时，由，(x)=3x23=0,得 x= ±1.如图是函数y=x33x与y= 2x在没有限制条件时的图象.右 a= 0,则 f(x)max=f(1) = 2.当a> 1时，f(x)有最大值;当 a<1 时，y= 2x 在 x>a 时无最大值，且一 2a>(x33x)max,所以 a< 1.答案：(1)2 (2)

17、(8, 1). 一.117. (2019届局三 浙东五校联考)已知函数f(x)=3mx q(3+m)ln x,右对任思的mC(4,5), xi, x2C 1,3,恒有(aIn 3)m 31n 3>|f(xi)f(x2)|成立，则实数 a 的取值范围是13x 1 mx 1解析：.f(x)=3mx-x-(3 + m)In x,f (x)=x2,当 xC1,3, m C (4,5)2时，f (x)>0, f(x)在1,3上单倜递增，. |f(x1)f(x2)|wf(3) f(1) = 6m+3(3+m)In 3 , 222, .(a In 3) m 31n 3>6 m + 3 (3

18、+ m)ln 3 , - >6 +3m. -.y= 6 + 3m在 m £ (4,5)上单倜递减，922 373715<6 + 3m< 6 , 1 a> 6 . 37答案：37, +°° 6B组一一能力小题保分练1. (2018台州第一次调考)设f' (x)为函数f(x)的导函数(xC R),且f(x)<0,2f' (x) + f(x)>0(e为自然对数的底数)，若x1<x2,则()x1 x9A. f(x2)<ef(x1)x x B. f(x1)<e 2 1 f(x) x2一 C. f2(x2)

19、>e 2f2(x1)x1 x2 D. f2(x1)>e 2f2(x2)解析：选 D 因为 f(x)<0,2f' (x)+f(x)>0,所以 f' (x)>0,即 f(x)在(一00, + oo)上单调 x1 x2x1 x2递增，从而 f(x1)<f(x2)<0 ,所以 f2(x1)>f2(x2),因为 0<e 2 <1 ,所以 f2(x1)>f2(x2)>e 2 f2(x2).2. (2017浙江名校(诸暨中学)交流卷)设f1(x) = sin x+cos x,对任意的nC N*,定义fn + 1(x) =

20、 fn' (x),则 f2 018(x)等于()A . sin x cos xB. sin x+cos xC. sin x cos xD. sin x+cos x解析： 选 D f1(x) = sin x+cos x, f2(x)= cos x sin x, f3(x)=sin x cos x, f4(x)= 一 cos x+ sin x, f5(x)= sin x+ cos x=f1(x),于是 fk+4(x) = fk(x),所以 f2 018(x) = f504X4+ 2(x) = f2(x), 故选D.13. (2018 惠州倜研)已知函数 f(x)= xsin x+cos x

21、+x2,则不等式 f(ln x)+f In x <2f(1)的 解集为()A. (e, + 8)b.(0, e)C. 0, 1 c U (1, e)D. eee1解析：选 D f(x) = xsin x + cos x+x解析：选A 依题意，原问题等价于对任意的aC 2, +8 ,关于x的方程2x2ax ,因为 f( x) = f(x),所以 f(x)是偶函数,所以 f In- x= f(In x) = f(ln x),所以 f(ln x)+f ln 1 <2f(1)可变形为 f(ln x)<f(1), f' (x)=xcos x+ 2x = xx(2 + cos x

22、),因为2+ cos x>0,所以f(x)在(0, + 00)上单调递增，在(oo, 0)上单调递减，所以 f(ln x)<f(1)等价于 11n x|<1,即一1<ln x<1,所以<x<e.故选 D. e4.已知函数f(x)=x(a e x),曲线y= f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的 切线都与y轴垂直，则实数 a的取值范围是()A. (-e2, +°° )B. ( e2,0)C. (e 2, +°° )D. (-e 20)解析：选D 曲线y=f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都

23、与y轴垂直，f' (x) = a+(x1)ex=0有两个不同的解，即a= (1 x)e x有两个不同的解，设 y=(1x)e x,则 y' =(x-2)e x,当 x<2 时，y' <0;当 x>2 时，y' >0,当x=2时，函数y=(1 x)ex取得极小值为一e 2,也即为最小值，当 x 一 OO 时，y 一 十 OO;当x-+oo时，y一0,要满足题意，需 e 2<a<0.实数a的取值范围是(e 2,0).故选D.1, 一， .1c5.若对任意的aC 2，+°0 ,函数f(x) = -x2-ax-2b与g(x) = 2aln(x 2)的图象均有 交点，则实数b的取值范围是()A. 15+ 21n 2 , iB. -85+ln 2, i115,115 , 1C. 5，16 + 2ln 2D. 16 + ln 2，+°°12ax x a 22aln( x 2)= 2b 有解.设 h(x) = x2ax2aln(x 2),贝U h' (x) = xa=2x 2 x 2所以h(x)在(2, a+2)上单调递减，在(a+2, + 8)上单调递增，当x-2时h(x)一 + 8 ,当x一11十