二次函数与一元二次方程的关系(2)

1、二次函数与一元二次方程教学设计 教材分析： 本节是初中九年级 数学 下册第二章第八节的第一课时， 这一章是初中数 学代数中的重点内容。 先让学生认识二次函数是描述现实世界变量之间关系的重 要数学模型， 进而认识它的图像是抛物线以及抛物线的开口方向、 对称轴、顶点 等特征。在研究图像的过程中也穿插了实际应用问题， 把图像直观与实际意义相 联系，让学生更深刻的理解二次函数的性质， 进而将前面学过的一元二次方程与 二次函数紧密地联系在一起， 建立了方程与函数的数学模型， 可以将前面的知识 和刚学过的函数知识紧密的联系起来， 起到承前启后的作用， 让学生更深刻地去 体会方程与函数之间的关系。 因此，

2、本节在本章中占有很重要的地位， 也是考察 学生的思维以及综合应用数学的能力， 更让学生明白数学知识前后是紧密相连的 而不是割裂的。 一教学目标 1知识目标 1) 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程， 体会方程与函数之间 的联系。 2) 理解二次函数与横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 3) 理解一元二次方程的根就是二次函数与 ( 为实数)的交点的横坐标。 设计意图 依据课标要求理解函数与方程之间的关系，同时体现课标精神 师生互动，探究总结，注重知识的形成过程，从而加深对知识的理解。这个 目标的实现与完成主要在课堂练习 1 中体现。 2能力目标 1) 经历探索二次函数与一

3、元二次方程的关系的过程， 培养学生有效的合作 探究能力以及与同伴交流的能力。 2) 渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力。 3情感态度价值观目标 1) 渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点。 2) 在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，让学生体会数学之间的 紧密联系， 感受数学知识之间的内在联系， 体会他在生活中的作用， 培养他们勇 于探索创新及实事求是的科学学习精神。 二教学重点 1. 理解二次函数的图像和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间 的关系。 2.理解方程何时有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根。 设计意图 本节课目的明确，由课题可知重点是

4、学习二者之间的关系，据此 制定此重点。 三教学难点 探索二次函数与一元二次方程之间的关系。 设计意图 探究对于初中九年级学生来说，由于他们的认知水平以及对知识 的综合应用能力有限，因此成为难点。 四教法设计 分组探究引导学生归纳教师总结 (议一议)这一环节中用到分组探究法， (3)小问中教师引导学生归纳，最 后教师总结。 复习一元二次方程与二次函数这一部分学生归纳， 教师总结方法再 次运用。 五学法指导 学生在学习本节时应积极参与课堂， 积极与同伴交流， 在交流与探究的过程 中掌握所学知识， 学生应该认真复习一元二次方程与二次函数知识， 为本节课的 探究打下基础。在探究过程中学生应提高探究效率

5、，少说一些与主题无关的话， 不会的问题能听取同伴的讲解。 六教具使用 三角尺， 多媒体课件。 本节涉及到图像用多媒体课件展示可以做到直观， 印 象深，帮助学生很好的理解。 七课时安排 1 课时（ 40 分钟） 八教学程序设计 创设情境， 导入新课师生合作， 探究新知启发引导， 归纳总结 反馈应用，巩固提高注重实效，回顾小结过程 九教学过程及步骤 1创设问题情境，导入新课（ 5 分钟） （多媒体课件展示 ） 师：我们知道，竖直上抛物体的高度 与运动时间 的关系可以用公式 表示， 其中 是抛出时的高度， 是抛出时的速度，一个小球从地面被以 的速度竖直向 上抛起（用多媒体演示）小球的高度 与运动时间

6、 的关系如下图： 那么： 与 的关系式是什么？ 小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。 师：请同学们思考一下回答。 生 1：由题知 其中 、 ，代入可得： 。 师：很好！这位同学思路很清楚而且运算能力也很强，回答很准确。 师：前面大家刚学过二次函数的图像和性质， 请大家来说一说 的开口方向， 对称轴，顶点坐标分别是什么？ 生：它的开口方向向下因为 ，对称轴为 ，顶点坐标为 师：这位同学回答很棒，看来前面的知识掌握不错。 师：小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法 生 2：由图像知 时小球落地。 师：还有别的方法吗？ 生 3：小球落地时 ，把 代入 中解出 ， 是小球没抛出时的

7、时间， 故舍去。 所以 。 师：你回答太棒了大家给他鼓掌 师： 与 轴交点的横坐标为 0 和 8，方程 的根为 ，二者有什么关系？对于 其他的函数与方程有类似的关系吗？那么我们一起去探索。 设计意图 通过上抛问题情境使学生初步感受二次函数与一元二次方程之 间的关系，顺利导入新课。 2师生合作，探究新知 师：同学们， 我们要探索二次函数与一元二次方程的关系， 首先让我们一起 来回顾一下二次函数与一元二次方程的有关知识。 师：哪位同学来说一下二次函数的定义和性质？ 生：形如 （ ）的函数叫做二次函数， 开口向上。 开口向下，当 时就得 到 与 轴的交点。 师：回答很棒，哪位同学说一下一元二次方程的

8、解法有几种？ 生：有四种，分别是直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法。 师：很好！下面我们将他们对比总结如下： ? 复习旧知识（ 5 分钟） 二次函数（ ） 开口 对称轴，顶点 与 轴交点横坐标 与 轴交点纵坐标 二者联系 开口向上 开口向下 顶点：（ ） 令 则 的根 令 得（ 0， ） 给函数付于一个 值，函数九变成了一格一元二次方程 一元二次方程（ ） 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 举例 设计意图 再现所学知识，前后对比复习，加深学生印象，为下面的探索 奠定基础。（多媒体展示出来） ? 探究新知识（ 15 分钟） 用多媒体课件展示课本中的议一议 ，同时思考下面三个问题： 1

9、） 每个图像与 轴有几个交点？ 2） 一元二次方程 ， 有几个根，验证一下 有根吗？ 3） 二次函数 的图像与 轴交点的坐标与一元二次方程 的根有什么关 系？ 学生四人一组讨论完成下面的表格。 与 轴有 2 个交点 （0，0），（-2，0） 与 轴有 1 个交 （1，0） 与 轴无交点 有 2 个实数根 0， -2 有 1 个实数根 1 无实数解 学生 1 回答问题 1，填入上表；学生 2 回答问题 2，填入上表。 师：同学们观察二次函数 的图像与 轴交点的横坐标与方程 的根由什么关 系？ 生：相同。 师：再观察二次函数 和 的图像与 轴交点的横坐标与对应的方程有入上关 系吗？ 生：有，和上面

10、的关系一样。 3启发引导，归纳总结 师：谁能用自己的语言描述一下上述关系， 这个规律对所有的二次函数都成 立吗？ 生：关系是函数 与 轴交点的横坐标就是方程 的根；都成立。 师：很好，表述很准确。 生：由上表我还发现： ，令 ，得到 这个方程有几个根， 就与 轴有几个 交点。若方程无解，则函数与 轴无交点。 师：很好，大叫表现棒极了！下面我们一起总结一下这个规律。 结论：二次函数 的图像与 轴交点有三种情况：有两个交点，有一个交点， 没有交点。当二次函数 的图像与 轴有交点时，交点的横坐标就是当 时得到的 一元二次方程 的根。 设计意图 充分体现课改精神：师生互动，相互交流合作，注重知识的形

11、成过程，培养学生合作交流能力， 同时也渗透重要的数学思想由特殊一般。 想一想本节一开始的问题中何时小球离地面 60 米？你是如何知道的？ （3 分钟） 生 1：看图像， 2 秒和 6 秒时离地面 60 米。 师：为什么有两个？ 生 2：一个是上升过程中达到 60 米，一个是下降过程中达到 60 米。 生 3：把 代入 中可得 。 师：同学们掌握太棒了！老师感到很高兴！ 设计意图 再次让学生体会一元二次方程的根就是函数 与 的交点横坐标。 4反馈应用，巩固提高（ 8 分钟） 判断下列二次函数图像与 轴的交点个数，并写出交点坐标，做草图验证。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令 ，则：

12、方程无实数解 图像与 轴无交点。 剩下的三道题由学生上黑板完成。 （过程略） 设计意图 巩固所学知识，并且会用知识解决交点问题，同时反馈学生掌 握情况。 方程 的根与 的图像有什么关系？试把方程的根在图像上表示出来 （用多媒 体展示）。（ 3 分钟） 生：老师我发现这个方程就是把函数 中的 得到的，这个方程的根就是函数 与直线 的交点的横坐标。 师：回答很好，我们把解题过程写出来。 （图形多媒体展示） 解： 所以 的图像与 的交点的横坐标为 和 。 设计意图 此题难度比练习 1 较大，重在给学有余力的同学以引导启发， 激发他们学习数学的兴趣， 激起他们探索数学知识之间联系以及奥秘的欲望。 同

13、时与想一想前后呼应，围绕重点，突破难点。 5注重实效，回顾小结（ 1 分钟） 二次函数 与 轴交点的个数与 的根的个数相同。 二次函数 与 轴交点横坐标就是 的根。 设计意图 再次将课程中知识系统化，便于理解记忆，起到画龙点睛的作 用。 十 教学评价 1 教学过程完成后进行反思是每一个老师提高自身水平的一个途径。 2教学过程中师生互动，课堂紧凑，及时给学生以肯定和表扬，增强学生 自信心，教师还可以从学生的回答中了解学生所学知识的情况， 提高师生之间的 了解程度。 3精心预设，重视生成，有未预料到的问题出现时应与学生讨论，不应草 草带过。 板书设计 一上抛问题情境 1. 解题过程 2. 略 三练习 1 2 板书 师生一起分析 二议一议 结论 学生分组讨论 四小结 五作业 点评： 创设适宜的问题情境，增强学生“做数学”的动力。 适宜的问题情境能激发学生的学习欲望， 能有效地调动学生以积极的态度去 尝试解决面临的问题，能较好的引导学生主动投入到学习活动中。 该设计中创设了“抛球”的问题，注重了从新知出发， 联系学生关注的问题， 激发了学生学习的动力。 合作交流，有效探索，适时引导。 新课程倡导自主探索、 合作交流的学