半导体物理与器件第三章3

1、半导体物理与器件半导体物理与器件陈延湖陈延湖小结小结n载流子的分布位置：载流子的分布位置：n导电电子处于导带底导电电子处于导带底n导电空穴处于价带顶导电空穴处于价带顶导带导带价带价带电子电子空穴空穴1( )1( )0pniiivalence bandiconduction bandJevev在外加电场下半导体在外加电场下半导体可导电，电流为：可导电，电流为：其中其中n，p为载流子浓度为载流子浓度n求解能带导电的载流子浓度问题，需要知道：求解能带导电的载流子浓度问题，需要知道：n1能带中允许的量子态按能量如何分布能带中允许的量子态按能量如何分布-状态密度状态密度g(E) n2电子在允许的量子态中

2、如何分布电子在允许的量子态中如何分布-概率分布函数概率分布函数f(E)n3计算不同温度下的载流子浓度（第四章）计算不同温度下的载流子浓度（第四章）dEEgEfdN)()( )( )ccEcEnf E gE dE3.4 状态密度状态密度 设在能带中能量设在能带中能量E E与与E+dEE+dE之间的能量间隔之间的能量间隔dEdE内内有量子态有量子态dZdZ个，体积为个，体积为V V，则定义状态密度，则定义状态密度g(E)g(E)为：为：( )dZg EVdE22*( )2cnh kE kEmg(E): g(E): 能量能量E E附近单位体积单位能量间隔的量子态数附近单位体积单位能量间隔的量子态数状

3、态密度的推导过程：状态密度的推导过程：(1)计算计算K空间单位体积的量子态数，即空间单位体积的量子态数，即K空间的状态密度空间的状态密度(2)能量间隔能量间隔dE对应的对应的K空间体积，并与空间体积，并与K空间状态密度空间状态密度相乘，得到相乘，得到dZ(3)根据定义计算根据定义计算g(E)1 K空间中量子态的分布空间中量子态的分布2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)2(0, 1, 2, 3,)xxxyyyzzznknLnknLnknL 三维晶体，波三维晶体，波矢矢K的取值的取值L为晶体线度（大小），则晶体体积为为晶体线度（大小），则晶体体积为: 一组一组K取值对应一个允许

4、的能量状态，取值对应一个允许的能量状态，根据第一章分析由于受边界条件限制根据第一章分析由于受边界条件限制nx，ny，nz取整数，取整数，K取值是不连续的，即允取值是不连续的，即允带内的能量是不连续的带内的能量是不连续的3VL1 K空间中量子态的分布空间中量子态的分布n每一个每一个K K取值在在取值在在k k空间中对应空间中对应一个点，每个点由一组整数一个点，每个点由一组整数（n nx x,n,ny y,n,nz z）表示。）表示。nk空间中，每一个允许的量子空间中，每一个允许的量子态的态的k空间代表点分布均匀，空间代表点分布均匀，且都与一个且都与一个83/L3的立方体相的立方体相联系，即联系，

5、即每一个每一个83/L3的立方的立方体中等效有一个允许的量子态体中等效有一个允许的量子态xkykzkK K空间状态密度：空间状态密度：333311888VLV考虑电子自旋，电子的考虑电子自旋，电子的K空间状态密度为空间状态密度为2V/8 32 状态密度（单位能量的量子态数）状态密度（单位能量的量子态数）n考虑能带极值在考虑能带极值在k=0，等能面为球面，各向同性，等能面为球面，各向同性E(k）-K关系为：关系为：计算半导体导带底附近的状态密度计算半导体导带底附近的状态密度22*( )2cnkE kEm因等能面为球面，能量为因等能面为球面，能量为E和和E+dE之间的量子态数之间的量子态数dZ对应

6、于对应于K空间两个球壳之间量子态数，球壳体积为空间两个球壳之间量子态数，球壳体积为23248VdZk dk24 k dk则：则：2 状态密度状态密度根据根据E(K)-k关系将关系将k用能量用能量E表示：表示：* 1/21/2(2)()ncmEEk*2nm dEkdk 及及代入代入dZ得：得：* 3/21/223(2)()2ncmVdZEEdE* 3/21/23(2)( )4()nccmdZgEEEVdEh导带底附近状态密度为导带底附近状态密度为: :/ 2h2 状态密度（单位能量的量子态数）状态密度（单位能量的量子态数）n与能量与能量E 有抛物线关系，电子有抛物线关系，电子能量越大，状态密度越

7、大能量越大，状态密度越大n还与有效质量有关，有效质量还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。大的能带中的状态密度大。同理可得价带顶附近的相应公式同理可得价带顶附近的相应公式2222*( )2xyzvphkkkE kEm3/2*1/232( )4pvvmgEEEh状态密度与能量关系状态密度与能量关系状态密度特征状态密度特征n状态密度同时是体积密度和能量密度状态密度同时是体积密度和能量密度n实际半导体中，由于有效质量可能有方向性，等实际半导体中，由于有效质量可能有方向性，等能面不为球面，则有效质量采用平均的有效质量能面不为球面，则有效质量采用平均的有效质量来计算，称为来计算，称为状态密度

8、有效质量状态密度有效质量n等能面不是球面（是？），各向异性的有效质量等能面不是球面（是？），各向异性的有效质量mnn导带底极值不在导带底极值不在K=0处，而且有多个对称的导带底状态处，而且有多个对称的导带底状态实际的硅、锗半导体导带底状态密度实际的硅、锗半导体导带底状态密度由硅，锗导带底由硅，锗导带底E(K)-KE(K)-K关系：关系：2222312( )2ctlkkkhE kEmm3/2*1/232( )4nccmgEEEh1/3*2/32ndnltmmsm m可得导带底状态密度为：可得导带底状态密度为：mdn为导带底为导带底电电子状态密度有效子状态密度有效质量质量S为对称的导为对称的导带底

9、状态数，带底状态数，si为为6，ge为为4能带特点能带特点2 状态密度（单位能量的量子态数）状态密度（单位能量的量子态数）n起作用的能带是极值相重合的两个能带，分别对应轻起作用的能带是极值相重合的两个能带，分别对应轻空穴和重空穴空穴和重空穴n极值在极值在K=0处，等能面为球形。处，等能面为球形。实际的硅、锗半导体价带顶状态密度实际的硅、锗半导体价带顶状态密度由球形等能面状态密度：由球形等能面状态密度：可得价带定状态密度为：可得价带定状态密度为：mdp为价带顶为价带顶空穴状空穴状态密度有效质量态密度有效质量3/2*1/232( )4pvvmgEEEh*1/23/22*3/21/21/23/223

10、2()( )( )( )4 ()2()(2)4 ()4phvvhvlVpldpVVmg EgEg EEEhmmEEEEhh3/22/ 3*2/ 3*)()(lphpdpmmm能带特点能带特点1( )( )VVEVEpf EgE dE( )( )ccEcEnf E gE dE3.5 统计力学统计力学 费米费米-狄拉克概率分布函数狄拉克概率分布函数n从微观上讲，每个电子所具有的能量时大时小，但从宏观从微观上讲，每个电子所具有的能量时大时小，但从宏观上看，在热平衡状态下，多个电子按能量大小具有一定的上看，在热平衡状态下，多个电子按能量大小具有一定的统计分布规律性统计分布规律性n根据量子统计理论，晶体

11、中的电子服从泡利不相容原理根据量子统计理论，晶体中的电子服从泡利不相容原理（每个量子态只允许存在一个微观粒子），遵循（每个量子态只允许存在一个微观粒子），遵循费米费米-狄狄拉克统计规律拉克统计规律，为：，为：01( )1exp()Ff EEEk T fF(E)就称作费米狄拉克统计分布函数，简称费就称作费米狄拉克统计分布函数，简称费米分布，它反映的是能量为米分布，它反映的是能量为E的一个量子态被一个电子的一个量子态被一个电子占据的几率。而占据的几率。而EF则称为费米能级。则称为费米能级。1 费米分布函数费米分布函数n费米（费米（Fermi）能级是费米分布函数的重要参数，确定了）能级是费米分布函数

12、的重要参数，确定了费米能级即可确定电子在各个能态的分布几率，它与温度，费米能级即可确定电子在各个能态的分布几率，它与温度，半导体材料类型等有关。半导体材料类型等有关。n费米能级就是系统的化学势，费米能级就是系统的化学势，处于热平衡的系统具有统一处于热平衡的系统具有统一的化学势，也即具有统一的费米能级的化学势，也即具有统一的费米能级。电子的费米分布函数：电子的费米分布函数：01( )1exp()Ff EEEk T0kT为玻尔兹曼常数为玻尔兹曼常数为绝对温度为绝对温度FE为费米能级为费米能级1 费米分布函数费米分布函数讨论不同温度下的费米分布函数特性讨论不同温度下的费米分布函数特性T=0K 时：时

13、：:( )1:( )0FFEEf EEEf E 比费米能级高的能级上没有电子，费比费米能级高的能级上没有电子，费米能级低的能级上有电子。绝对零度时费米能级低的能级上有电子。绝对零度时费米能级可看作量子态是否被电子占据的能米能级可看作量子态是否被电子占据的能量界限量界限1 费米分布函数费米分布函数nT0K 时：时：:( )1/2:( )1/2:( )1/2FFFEEf EEEf EEEf E 例如：当能量比费米能级高或低例如：当能量比费米能级高或低 时时：05k T005:( )0.0075:( )0.993FFEEk Tf EEEk Tf E n可见一般温度情况下：可见一般温度情况下：n费米能

14、级以上的量子态基本是空的，费米能级以下的量子态基本费米能级以上的量子态基本是空的，费米能级以下的量子态基本被电子所占据。而费米能级处的几率总是被电子所占据。而费米能级处的几率总是1/2n此外，随着温度升高，电子占据高能态的几率增加，而占据低能此外，随着温度升高，电子占据高能态的几率增加，而占据低能态的几率下降态的几率下降1 费米分布函数费米分布函数n费米能级费米能级EF的意义：的意义：nEF 的位置比较直观地反映了电子占据量子态的情况。的位置比较直观地反映了电子占据量子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。即标志了电子填充能级的水平。一般温度下费米能级一般温度下费米能级以上的量子态基本是空的，

15、而费米能级以下的量子态以上的量子态基本是空的，而费米能级以下的量子态基本被电子所占据基本被电子所占据nEF 越高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子占越高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子占据据。 考虑量子态密度考虑量子态密度g(E)g(E)是能是能量量E E的连续函数，如左图中的的连续函数，如左图中的曲线所示，假设系统中的电曲线所示，假设系统中的电子总数为子总数为N N0 0，在，在T=0KT=0K时，电时，电子在这些量子态上的分布情子在这些量子态上的分布情况如图中虚线所示。电子首况如图中虚线所示。电子首先从低能级开始往上填充，先从低能级开始往上填充，最后使得费米能级最后使得费米能级E

16、 EF F以下的以下的能级全部填满，而能级全部填满，而E EF F以上的以上的能级全部为空。只要已知能级全部为空。只要已知g(E)g(E)和和N N0 0 ，则可以很方便地确定，则可以很方便地确定费米能级费米能级E EF F。2 费米费米-狄拉克分布的玻尔兹曼近似狄拉克分布的玻尔兹曼近似0FEEk T0exp()1FEEk T001 exp()exp()FFEEEEk Tk T0( )( )exp()exp()exp()FFFBEEEEfEfEk TkTkT所以：所以：令：令：exp()FEAkT当当时时则：则：( )BfE称为电子的玻尔兹曼分布函数称为电子的玻尔兹曼分布函数( )exp()B

17、EfEAkT2 玻尔兹曼分布函数玻尔兹曼分布函数()(FiiEE E本征为禁带中心能级）1.12gEev0.56cFciEEEEevn 所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。在室温时在室温时对本征硅：对本征硅：0.026kTeV0.560.026cFEEeVeV量子态被空穴占据几率量子态被空穴占据几率011( )1 exp()Ff EEEk T上式为空穴的玻尔兹曼分布函数，其中：上式为空穴的玻尔兹曼分布函数，其中： 0FEk TBe当当 时时0FEEk T01( )exp()exp()FEEEf EBk TkT( )f E1( )f E 表示能量为表示能量

18、为E E 的量子态被电子占据的几率，的量子态被电子占据的几率，所以所以 就是能量为就是能量为E E的量子态被空穴占据的几的量子态被空穴占据的几率率: :量子态被空穴占据几率量子态被空穴占据几率n能量能量E增加，空穴的占有几率增加。增加，空穴的占有几率增加。n费米能级费米能级EF增加，空穴占有几率下降，电子填充水平增加。增加，空穴占有几率下降，电子填充水平增加。n电子和空穴的分布几率相对费米能级是对称的电子和空穴的分布几率相对费米能级是对称的简并与非简并半导体简并与非简并半导体n因导带中的电子主要分布在导带底，价带中的空穴主要分布在价带顶因导带中的电子主要分布在导带底，价带中的空穴主要分布在价带顶在半导体中，最常见的是费米能级位于禁带内，且满足在半导体中，最常见的是费米能级位于禁带内，且满足EcEvEF0FvEEk T0cFEEk T服从玻尔兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相服从玻尔兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相应的半导体称为应的半导体称为非简并半导体非简并半导体；n所以导带中的