偏微分方程导出

1、偏微分方程导出偏微分方程导出偏微分方程的导出-运输方程1.运输方程 （石油管道运输、南水北调）偏微分方程导出偏微分方程的导出-运输方程偏微分方程导出偏微分方程的导出-运输方程运输方程 ut+cux=0 水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动 水中含有某物质（如，污染物），以u（x, t）记其含量 方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度ux偏微分方程导出偏微分方程的导出-运输方程 0 b u(x, t) c ch b+ch污染物在t时刻、区间0,b内的总量 M=0bu(x, t) dx =chb+chu(x, t) dx对b求导可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)对h求

2、导，并令h=0,可得 0=cux+ut偏微分方程导出偏微分方程的导出-运输方程高维运输方程0ubut偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程2. 弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程 u(x, t) 0 l T(x1, t) ux 1 T(x0, t) x0 x1 偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程物理假设：柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动柔软 张力方向指向弦的切线方向均匀 弦的线密度为常数 细小 重力忽略不计微小横振动 u, ux很小偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程物理定律：牛顿第二定律 F=ma纵向 横向 dxuxxttxxx10102x

3、u1Tu0u1T102xxx偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程数学简化 泰勒展开式微分可得2x2u211u1xdxuxxttxxx10102xu1TuttxxuTu）（偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程张力T大小为常数ttxxuTu）（Tcucxxtt,u2偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的变种空气阻力 正比于 速度横向弹性力 正比于 位移系统受外力0, 0u2rruuctxxtt0k, 0u2txxttkuuc),(fu2txucxxtt偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的其他来源CRL电路 R C L 物理量：电流u(x,t), 电容 C，电阻

4、 R，电感 L，电漏 G 物理定律：Kirchhoff定律偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程CRL电路的方程理想传输线：R=G=0 GRuuGLCRCLutttxx)(uttxxCLuu偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程物理假设 水平方向没有运动， Du(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域 D，边界 物理定律牛顿第二定律DttmadxdyudSnuTF偏微分方程导出偏微分方程的导出-振动方程数学化简Green公式弹性张力大小为常数dxdydSnuTD）（uTTcuucucyyxxtt),()(u22偏微分方

5、程导出偏微分方程的导出-扩散方程扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1管内从x0到x1扩散物质总质量及其变化率10 x),(M(t)xdxtxudxtxudtxxt10),(dM偏微分方程导出偏微分方程的导出-扩散方程物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 流入量-流出量dtdM),(),(dM01txkutxkudtxx偏微分方程导出偏微分方程的导出-扩散方程数学简化对x1求导，得到扩散方程),(),(),(01x10txkutxkudxtxuxxxxxtkuu 偏微分方程导出偏微分方程的导出-扩散方程高维扩散方程 对任意区域D，有等式

6、 由区域的任意性，可得dSunkdxdydzut)(D)(zzyyxxtuuukuku偏微分方程导出偏微分方程的导出-热传导方程热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度热量的变化率 DudxdydzcH(t)DtdxdydzucdtdH偏微分方程导出偏微分方程的导出-热传导方程物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为能量守恒定律dSunk)(Dtdxdydzuc)(dSunk偏微分方程导出偏微分方程的导出-热传导方程数学化简散度定理由区域的任意性，可得微分方程D

7、dxdydzuk)(）（dSunk)()(u22zzyyxxtuuucuc偏微分方程导出偏微分方程的导出-泊松方程波动或扩散的稳态方程 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0静电场 q偏微分方程导出偏微分方程的导出-薛定谔方程n氢原子的薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量， 普朗克常数除以2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程ureumuit22221222)(zyxr偏微分方程导出偏微分方程的导出-薛定谔方程物理意义： 在量子力学中，物理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内的概率，dxdydzu2D|1|2R3dxdydzu偏微分方程导出偏微分方程的导出-薛定谔方程n 薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的