集合的概念与运算

1、第 1 讲 集合的概念与运算 （第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1集合概念的正确理解；2集合的运算。难点：1含参数集合的运算；2灵活应用集合运算中的相关性质。考纲要求注意紧扣！1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；2了解空集、全集、属于、包含、相等关系的意义；3会用术语和符号正确表示简单的集合。 命题预测仅供参考！1涉及集合概念及运算的选择题；2含参数的集合的运算；3综合运用。考点热点一定掌握！1集合的有关概念集合：把确定的彼此不同的一些对象作为一个整体来考虑，便说这个整体是一个集合。元素：集合中每个对象叫做集合的元素。集合的元素具有确定性、互异性和无序性。即一个元素与一

2、个集合的关系只有两种，属于或不属于；集合中的任何两个元素都不相同；集合中的元素是没有先后顺序的。集合用大写字母表示，集合的元素用小写字母表示，元素属于集合记为 ，不属于集合记为 。空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为。例. 分别由所有自然数、整数、有理数、实数组成的集合分别叫做自然数集、整数集、有理数集、实数集。分别、表示。也用、分别表示正负实数集。例. 实数集的性质有序性：任何两个实数和必定有下列三种关系中的一种，而且只能有一种：，。稠密性：对任何两个不等的实数和，都至少存在一个实数，使得： 或 。连续性：实数集的元素与数轴上的点是一一对应的。2集合的表示 列举法：把集合的元素一一列举出来

3、，写在大括号内，常用于有限集合，例如 。 描述法：把集合中元素的公共属性写在大括号内，例如 小于5的自然数，还例如， 中的元素为函数 的函数值，为值域； 中的元素为函数 的自变量的取值，为定义域。 区间法：用区间来表示集合。例（1993年高考理科题）已知集合 ， ，那么EF为区间：. ；. ；. ；. 。解：（略） 图示法：画一个圆（也可用椭圆或矩形），用圆内的点表示集合的元素，圆外的点表示不是集合的元素，不同的圆表示不同的集合，如右图。例（上海高考题）已知集合 ， ，那么集合为. ， ； . ； . ； . 。解： 为集合，且其元素为有序实数对，而答案、不是集合，故排除；答案是集合但不是实数

4、对，故排除；故应选答案。3集合之间的关系子集、真子集和全集：对于集合、，若的所有元素都属于，则叫的子集，叫全集，记为 。若中至少有一个元素不属于，则叫的真子集，记为 。（查现行教材上对于子集、真子集的记法）例如， ，因为是元素，而是只有一个元素的集合，与是两个不同的概念，当然不可能相等。实际上， 。又例如， ，因为是空集，集合中没有元素，而0是有一个元素零的集合，二者当然不是一回事。集合相等：对于两个集合和，如果，同时，则称、两个集合相等，记为。注意： 集合与集合之间的关系用 、或 来表示，元素与集合之间的关系用 或 来表示。 两个集合和之间的关系必有下列四种关系中的一种，并且只能有其中一种：

5、从属关系（即 ）；相等关系（即 ）；并列关系（即 ）；重叠关系（即 ，但 且 ）。这四种关系用集合图表示如下：例（2002年新课程高考题）设集合则（A） ； （B） ； （C） ； （D）解：在中， ，在中， ，由于，那么 只能是奇数，故其所取实数个数少于 所取实数个数， ，故应选。4集合的运算交集：集合、，由既属于也属于的所有元素组成的集合叫做和的交集，记为 ，也就是说，与的交集是由、的所有公共元素所组成的集合；并集：由属于或属于的所有元素组成的集合叫做和的并集，记为 ，注意与的公共元素在中只出现一次（集合元素的互异性）；补集：集合是集合中的子集，集合中所有不属于的元素组成的集合叫做的补集，

6、记为 ，实际上，如果借用“差”的概念，。例设 ， ，,为何值时， ； ； ，但； 。解： ， ， 故当 时，如图1； 时， ，如图2； 时，但，如图3； 不论为何值，都不可能，如图4。 图1图2 图3 图4点评：第小题的答案如果只写 ，而没有将其解出来，那是不够的。例（2004年湖南高考题）设集合 ，那么点P（2，3）（ ）的充要条件是 （ ）ABC D解： ， 必须适合 ， ，故应选。5集合运算的性质与常用结论 ； ； （）； （）； （）； 若集合是集合的子集，则 ， ， ， ； ， ， ， ；6集合思想的应用集合问题与函数、方程、不等式等中学数学知识都有关系，要能运用集合思想进行数与形之

7、间的转化。例已知集合P = ( x，y ) | y = 2x + b ， Q = ( x，y ) | x2 + y2 2x4 = 0 如果集合PQ恰有四个不同的子集，那么实数b的取值集合为_。分析：本题关键在于认识“集合PQ恰有四个子集”的意义从图形角度看，集合P表示一条直线，Q表示一个圆，PQ为直线和圆的公共点的集合，PQ中所含元素的个数只可能是0或1或2。由已知PQ恰有四个子集，故PQ中只可能有二个元素（例如，含有二个元素a,b的集合的子集为：空集，只含a的集合，只含b的集合，含a、b的集合），即直线和圆的公共点的个数为2（即直线和圆相交），以此为据来求b的取值集合。直线方程变为 2xy

8、+ b = 0 ，圆方程变为 (x1)2 + y2 = 5 ， 直线和圆相交， 圆心到直线的距离应该小于圆的半径，即 ，解得 7 < b < 3 。 实数b的取值集合为 b | 7 < b < 3 。点评： 正确识别集合语言以及由集合语言表述的数学命题的意义，是集合内容的应用之一。 如果不记得点线距离公式，也可以把直线方程代入圆方程然后令来求出。能力测试认真完成！1命题“如果，那么。”的等价命题是(A) 如果,那么。 (B) 如果,那么。(C) 或。 (D) 如果，那么。(E) 如果，那么。2数集 与数集 之间的关系是(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。3已知 ，

9、，则下列关系中正确的是(A) ；(B) ；(C) ；(D) 、之间无包含关系。4已知集合 ， ，而且 ，、，那么+的值等于(A)-1； (B)-2； (C)0； (D)1。5已知集合适合 ，那么这样的集合有(A)7个；(B)8个；(C)至少7个；(D)至多7个。6设 ，,计算： 7设 ， ，,计算： ； 。8已知集合P=(x，y)|y=x22x，Q=(x，y)|y=kx2，若PQØ，求k的取值范围。参考答案仔细核对！12345678集合的有关概念集合的表示列举法描述法区间法图示法集合之间的关系子集真子集全集集合相等集合的运算交集并集补集集合的综合应用1命题“如果，那么。”的等价命题是

10、(A) 如果,那么。 (B) 如果,那么。(C) 或。 (D) 如果，那么。(E) 如果，那么。解：因为逆否命题与原命题等价，故选(B)。解题错误：误选为(A)或(E)。2数集 与数集 之间的关系是(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。解（84年高考题）：由下表可知应该选(C)。n-1012nX-35（2n+1）k-1012kY-5，-3,-5,39,7（4k1）解题错误：误选为(A)或(D)。3已知 ， ，则下列关系中正确的是(A) ；(B) ；(C) ；(D) 、之间无包含关系。解：从 和 的图像上可以看出，后者比前者少一个点（1，0），而其余点相同，故选(B)。解题错误：误选为 (A) 或 (D)。4已知集合 ， ，而且 ，、，那么+的值等于(A)-1； (B)-2； (C)0； (D)1。解：由 可知 ，把2代入 得 ；由 可知 ，把4代入 得 。 ，故选(A)。解题错误：误选为(D)。5已知集合适合 ，那么这样的集合有(A)7个；(B)8个；(C)至少7个；(D)至多7个。解：，