随机过程复习提纲

1、第一章：1 填空若X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且gi(t)是Xi的特征函数,i=1,2,n)则X=X1+X2+Xn的特征函数g(t)= g1(t) g2(t)gn(t)2.设P(S)是的母函数，试证:(1)若E(X)存在，则EX=P(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P(1)- P(1)2证明:(1)因为p（s）=，则p（s）=，令s1，得EX= p(1)。 （2）同理可证DX=p(1)+ p(1) p(1) 23.设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX,EX2,DX.解：X的分布列为P(X=k)=,q=1-p,k=0,1,2,.n,由性质得

2、4 设XN(0,1),求特征函数g(t).解由于，且，故由积分号下求导公式有于是得微分方程g(t)+tg(t)=0解得方程的通解为由于g(0)=1,所以C=0，于是得X的特征函数为5 设随机变量YN(，2)，求Y的特征函数是gY(t).解：设XN(0,1),则由例1.3知X的特征函数令Y=,则YN(，2)，由前面的命题知Y的特征函数是，6 设X1,X2Xn是相互独立的随机变量，且Xib(ni,p),i=1,2,n,则证 因为Xib(ni,p),所以其特征函数为由特征函数的性质知，的特征函数为再有唯一性定理知7 设X1,X2Xn是相互独立的随机变量，且则证 因为所以其特征函数为有特征函数的性质知

3、，的特征函数为再由唯一性定理知。8 设X1，X2Xn是相互独立的随机变量，且，则。证 因为所以其特征函数为有特征函数的性质知，的特征函数为再由唯一性定理知9 设商店在一天的顾客数N服从参数=1000的泊松分布，又设每位顾客所花的钱数Xi服从N(100,502)，求商店日销售Z的平均值。解：由条件知而EN=1000，EX1=100,故EZ=EN·EXi=1000×100=100000(元)10设随机变量X的特征函数为gx(t),Y=aX+b,其中a,b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为证11求以下各分布的随机变量X的特征函数g(t).(1)两点分布b(1,p) (5)正

4、态分布N(，2)(2)二项分布b(n,p) (6)指数分布Exp()(3)泊松分布p() (7)均匀分布U(a,b)(4)几何分布Ge(p) (8)伽马分布(，)解：(1) 令Xb(1,p),则P(X=0)=1-p=q,p(x)=p.则根据特征函数的定义，得：(2)令Xb(n,p),则有特征函数定义，可知(3)令Xp(),则有特征函数定义可知：(4)设XGe(p),则p(X=k)=pqk-1,q=1-p,k=1,2n 有特征函数定义知：(5)设XN(，2),因为当=0,=1时得出特征函数为，令X=x+,则X的特征函数为(6)设XExp(),则可知密度函数则有特征函数定义，可得：(7)设XU(a

5、,b),则可知密度函数为则 (8)设x(,),则密度函数则第二章：1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.2、若X(t)，tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1<t2t3<t4，则X(t)为正交增量过程的充分条件是3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求 X(t)，t>0的一维和二维概率密度族.解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算X(t)，t>0的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征mx(t)，DX(t)，X(s，t)即可.

6、 mx(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，DX(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2，BX(s,t)=EX(s)X(t)- mx(s) mx(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，X(s,t)=BX(s，t)DX(S)DX(t)=1+st(1+s2)(1+t2)，故随机过程X(t)，t>0的一、二维概率密度分别为ft(x)=12(1+t2)exp-x22(1+t2)，t>0，fs,t(x1,x2)=12(1+s2)(1+t2)1-2.exp-12(1-2)x121+s2-2x1x2(1+s2)(1+t2)+x221+t2,s,t>0,其中=X(s,t)4

7、、设X(t)，t0是实正交增量过程，X(0)=0，V是标准正态随机变量，若对任意的t0，X(t)与V相互独立,令Y(t)=X(t)+V，求随机过程Y(t)，t0的协方差函数.解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以EY(t)=EX(t)+V=EX(t)+EV=0，BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V)=EX(t1)X(t2)+EV2=2X(min(t1,t2)+1.5、试证明维纳过程是正态过程。证明：设B(t)，t0是参数为2的维纳过程，对于任意的n，任取0t1<t2<<tn，由于B(t1)，B(t2)- B(t1)，,B(tn)-B(tn-1

8、)相互独立,而且B(tk)-B(tk-1)N(0,2(tk-tk-1),所以B(t1),B(t2)-B(t1),B(tn)-B(tn-1)是n维正态向量,于是:即B(t1),B(t2),B(tn)是n维正态随机向量B(t1),B(t2)-B(t1),B(tn)-B(tn-1)的线性变换,所以B(t1),B(t2),B(tn)是n维正态随机向量,n=1,2,故B(t),t0是正态过程.6、设X(t)，ta,b是正交增量过程，且X(a)=0，定义F(t)表示E2=RX(t,t)，tT，则有：(1)RX(s,t)=F(min(s,t) (2)F(t)是a,b上的非负单调不减函数.证明：（1）假设a&

9、lt;s<t<b,RX(s,t)=EX(s)=EX(s)=E2=F(s)同理若s<s<t<b,则RX(s,t)=F(t)所以RX(s,t)=F(min(s,t) (2)对任意的a<s<t<b，求证F(s)F(t)即F(t)-F(s)0F(t)-F(s)=E2-E2=EX(t)-RX(s,t)=EX(t)- EX(s)=EX(t)-X(s)=EX(t)-X(s)=EX(t)-X(s)+EX(t)-X(s)=E20所以F(t)是a,b上的非负单调不减函数,证毕.7、设 A, B是两个随机变量.试求随机过程X（t）=At+B,t（-）的均值函数和自相关

10、函数。如果A，B相互独立，且AN(0,1),BU(0,2),问X（t）的均值函数和自相关函数又是什么？8、求随机相位正弦波 X（t）=acos（），t（-）的均值函数，方差函数和自相关函数，其中a和是正常数，U(0,2)。9、 设X(t)=Acos+Bsin，tT（-），其中A,B相互独立，且都服从正态分布N(0,)的随机变量，是实常数。证明X(t)是正态过程，并求它的均值函数和自相关函数。10、 设有两个随机过程X(t)=（t+）和Y(t)=(t+),其中和都是周期为L的周期方波，是（0，L）上服从均匀分布的随机变量。求相互函数(t，t+)的表达式。第三章1、泊松过程的定义：称计数过程X(t

11、),t0,为具有参数>0的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程；(3) 在任一长度为t的区间(s,s+t中，事件A发生的次数X(t+s)-X(s)服从参数t的泊松分布，即对任意s,t0,有2、泊松过程的定义：称计数过程X(t),t0为具有参数>0的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立、平稳增量过程；(3) X(t)满足下列两式：PX(t+h)-X(t)=1=t+o(h), PX(t+h)-X(t)2=o(h)3、设X（t）,t0是参数为>0的泊松过程，则（1） 均值函数：mX(t)=EX(t)=E

12、X(t)-X(0)=t;（2） 方差函数：（3） 自相关函数：RX（s,t）=2st+min(s,t)（4） 特征函数族：4、设X(t)，t0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程。求EX(t)和DX(t)。解：=5、设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户二人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人户数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望和方差。解：设N(t)为在时间0，t内的移民户数，Yi表示每户的人口数，则在0，t内的移民人数X(t)=是一个复合泊松过程。Yi是相互独立且具

13、有相同分布的随机变量，其分布列为P(Y=1)= P(Y=4)=1/6 P(Y=2)=P(Y=3)=1/3EY=15/6 , EY2=43/6根据题意知N(t)在5周内是强度为10的泊松过程 ， m x(5)=10EY1=1015/6=25x (5)=10EY12 =1043/6=215/36、设X1(t)和X2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明:Y(t)=X1(t)+X2(t)是具有参数1+2的泊松过程。证明：Y(t)是独立增量过程，且 PY(t+)-Y(t)=n =PX1(t+)+X2(t+)X1(t)X2(t)=n =PX1(t+)X1(t)+X2(t+)X2(t)=n-

14、 = =i=one-1·(1)ii!·(2)n-i(n-i)! =e-·()nn!, n=0,1,27、设到达某商店顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商店的概率为P，且与其它顾客是否购买商品无关，若Yt，t0是购买商品的顾客数，证明Yt，t0是强度为P的泊松过程。证明:设X(t)，t0表示到达商店的顾客数，表示第i个顾客购物与否，即：则由题意知，i=1，2，独立同分布，且与X(t)独立P=1=p，P=0=1-p因此，Y(t)=是复合泊松过程，EY(t)=tE()=pt，Y(t)的强度=EY(t)/t=p.8、设在内事件A已经发生n次，且，对于,求.解：利用条件

15、概率及泊松分布得：P= = =这是一个参数为n和的二项分布。9、设是具有参数为的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间隔，证明P=P，即假定预先知道最近一次到达发生在s1秒，下一次到达至少发生在将来s2秒的概率等于在将来s2秒出现下一次事件的无条件概率.解：P=P=1-P(Ss2)=P(S>s2)10、设在0,t内事件A已经发生n次，求第k次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。tWk0sWns+h11、设X1(t),t0和X2(t),t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记为过程X1(t)的第k次事件到达事件，为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求

16、P<,即第一个泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程的第k次事件发生早的概率。解：设的取值为x，的取值为y，由(3.7式)即：可得， 则 ，其中D为由y=x与轴所围区域如图所示，f(x,y)为与的联合概率密度。 由于X1(t),X2(t)相互独立，故f(x,y)=所以12、设X(t),t0是具有跳跃强度的非其次泊松过程 (0).求EX(t)和DX(t).解：由mX(t)=式得由mX(t)=式知DX(t)=13、设是与泊松过程对应的一个等待时间序列,试证明服从参数为n与的分布,并请写出其概率密度.证明:注意到第n个事件在时刻t或之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n,即:.因此

17、.对上式求导,得的概率密度是:14、设X(t),t0是具有均匀函数m(t)=的非其次泊松过程，Wn,n0是等待时间序列。求Wn的概率密度。解：当t>0时，由于,故上式对t求导。得到Wn的概率密度为由于。故当t0时，故15、设到达某商店的顾客组成强度为的泊松方程，每个顾客购买商品的概率为p，且与其它的顾客是否购买商品无关，若Yt,t0使购买商品的顾客数，证明Yt,t0是强度为p的泊松过程。解：设X（t）,t0表示到达商店的顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即 则由题意知i,i=1,2独立同分布，且与X（t）独立，P (i=1)=p, P (i=0)=1-p,因此，是复合泊松过程，EY(t)

18、=tE(1)=ptY(t)的强度Y=EY(t)/t=t16、设X（t）,t0为具有参数的泊松过程，证明（1） E(Wn)=,即泊松过程第n次到达时间的数学期望恰好是到达概率倒数的n倍。（2） D(Wn)=,即泊松过程第n次到达时间的方差恰好是达到概率倒数的n倍。证明：(1)设Ti表示X（t）,t0第i-1次事件发生到第i次事件发生的时间间隔，则Ti，i=1,n相互独立且服从均匀值为1/的指数分布。,，i=1,n(1)(2)16、设是具有参数的泊松过程,试求其有限维概率分布族.解：对任意的自然数n，及任意的非负整数有：显然 = = = =17、是具有参数的泊松过程,是对应的时间间隔序列,试证明随

19、机变量是独立同分布的均值为的指数分布.解：首先注意到事件发生当且仅当泊松过程在区间内没有事件发生,因而,即,所以T1服从均值为的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有: = =即,故T2也是服从均值为的指数分布.对于任意和,有,即所以对任一,其分布是均值为的指数分布证明：证毕34例3.10某镇有一小商店，每日上午8:00开始营业，从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/h；11:00到达率达到最高峰20人/h；从上午11:00到下午1:00平均顾客到达率为20人/h；从下午1 :00到下午5:00顾客到达率线性下降，到下午5:00时为12人/h，假定在

20、不重叠的区间内到达商店的顾客数是相互独立的，问在上午8:30至9:30时间内无顾客到达商店的概率，并求这段时间到达商店的顾客数的数学期望。 第四章1、设为马尔可夫链,试证明:对任意整数,和,n步转移概率证明:利用全概率公式及马尔可夫性,有2、设质点在数轴上游动,每次游动一格,向右移动的概率为p,向左移动的概率为,这种运动称为无限制随机游动.以表示时刻n质点所处的位置,则是一个齐次马尔可夫链,试写出它的一步和k步转移概率.解:显然的状态空间,其一步转移概率矩阵为设在第k步转移中向右移了x步,向左移了y步,且经过k步转移状态从i进入j,则:从而,.由于x,y都只能取整数,所以必须是偶数.又在k步中哪x步向右,哪y步向左是任意的,选取的方法有种.于是3、设昨日、今日都下雨,明日有雨的概率为0.7；昨日无雨，今日有雨，明日有雨的概率为0.5；昨日有雨，今日无雨，明日有雨的概率为0.4；昨日、今日均无雨，明日有雨的概率为0.2.若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨的概率.解:设昨日、今日连续两天有雨称为状态0(RR)，昨日无雨、今日有雨称为状态1(NR)，昨日有雨、今日无雨称为状态2(RN)，昨日、今日无雨称为状态3(NN)，于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔可夫链，其转移概率为：，,其中