量子力学习题解答-第1章

1、第1章波函数本章主要内容概要：1. 薛定谔方程：微观粒子的状态由一个波函数描写，这个波函数通过解薛定谔(Schrödinger)方程得到： （一维情况） （三维情况）是普朗克(Planck)常数或者最初的常数（）除以： 薛定谔方程的作用和地位从逻辑上讲就像牛顿第二定律:给定适当的初始条件(一般来说,),薛定谔方程确定以后所有时刻的波函数,就像经典力学中牛顿定律确定以后所有时刻的一样。2 波函数的统计解诠释：玻恩（Born）关于波函数的统计诠释给出，当一个微观粒子处于状态时，在时刻处的体积内发现这个粒子的几率为所以，是几率密度，它给出在时刻处的单位体积内发现粒子的几率。由于是几率密度，

2、物理上的波函数必须满足归一化条件 物理上的波函数还需满足连续，单值条件。 3. 力学量的期待值、标准差： 对一个系综（对大量相同的态每一个进行测量）测量的统计平均值（期待值）是标准差是4. 测量对波函数的影响： 给定初始波函数，体系的波函数将按薛定谔方程演化，但是如果对体系进行测量将导致波函数的坍塌。对坐标进行测量，如果测量结果是，波函数将坍塌为处的一个尖峰。 (a) 习题1.4 解：（a） 所以 （不考虑可能的相因子，以后都是如此）（b）的示意图如下图所示：（c）在处，有最大值，所以在此处发现粒子的几率最大。（d） 当时，在b左边发现粒子的几率是1；当时，发现粒子的几率是1/2.(e) 习题

3、1.7 解： 利用薛定谔方程 并代入对第一项分部积分两次，并利用边界项条件（时，波函数及导数为零）所以前面两项相互抵消，最后有这是量子力学中牛顿运动方程。（在学习第三章后，我们有更简洁的方法处理本题。利用哈密顿算符与动量算符的对易关系 所以 ） (a) *习题1.9 解：（a）由归一化 （b）在第二章，我们将讨论一维谐振子，你将发现势能会得到这样的波函数解。不过现在我们打算直接从薛定谔方程得到对应的势能。把所给的波函数代入薛定谔方程，经过对t和x的求导运算后，得到 两边消去相同的项后，我们得到 （顺便提及一下，如果让。则，所给的波函数其实就是一维谐振子的基态，对应的基态能量是，你将在第二章看到

4、这些结果。）（c） （被积函数是的奇函数） （d） 这刚好是不确定原理的下限。 习题1.14 解：（a）由波函数的统计诠释，在时刻发现粒子处在区间内的几率是 求这个几率对时间的变化率 代入薛定谔方程 及其共轭式 把对时间的导数转换为对坐标的导数 注意到方括号内的式子可以表示为 所以的量纲为的量纲， 在一维情况下（的量纲为（长度-1），的量纲是（秒-1），它表示在单位时间流过点x的几率密度。在三维情况下的量纲是（长度-3），是一个矢量，它的量纲是（米-2秒-1），表示单位时间流过垂直于单位面积的几率。（b）习题1.9中的波函数为代入一维几率流的表示式 我们会发现，这是因为，对空间的依赖是实函数，

5、两项相互抵消。 *习题1.15 解：（a）由 代入薛定谔方程 及其共轭式 把对时间的导数转换为对坐标的导数 第一项的积分仍然同以前一样，由于在时波函数为零，积分为零。所以（a） 积分上式，得到 当时，所以积分常数 粒子的（平均）寿命可以表示为 习题1.16 证： 因为两个波函数满足具有相同势函数的薛定谔方程，所以 代入前面的式子 其中最后一步利用了时，波函数为零的条件。(a) 习题1.17 解：（a）归一化 （b） （注意被积函数是奇函数，所以很容易得出积分结果，下面动量的期待值也是如此。）（c） （注： 因为本题仅给出的波函数，我们求出的仅是坐标在时刻的期待值，无法知道随时间的变化规律，所以不能从得到动量的期待值。）（d）（e） （f） （g）（h） (a) 习题1.18解：我们要求 （a） 固体中电子（） 可以看出，这个温度远大于一般固体溶化温度，所以固体中的电子总是量子力学的。 固体中的核子（纳原子为例）；纳原子核质量所以在一般温度时，固体中的原子核不是量子力学的。（b） 由理