阅卷评分问题

1、评 分 专 用 页编号： 学员评阅记录：评阅队号评分备注教员评阅记录：阅卷评分问题摘 要本文采用随机分配的方法，建立离差比模型对原始成绩进行标准化，接着对每位评委赋予不同权重，得到论文最终成绩，最后对模型不断优化改进。针对问题一，根据不重复评阅、各评委和各组合评阅量尽量一致原则，首先采用名额分配方法法分配评委，分别基于随机移位方法和随机组合方法建立随机分配模型，并利用MATLAB软件模拟数据，依据上述三个原则，分析可得随机组合分配模型的可靠性优于随机移位分配模型。针对问题二，本文首先采用算数均值方法作为最终成绩，但该方法受单一评委的影响大。接着本文建立差比模型，根据不同评委相同1分对总分贡献度

2、不同的思想，得到评委各自的标准化分，然后根据每位评委评阅同一论文与各自标准化分均值的偏离程度赋予不同的权重，进而求得论文的最终成绩。针对问题三，本文首先对评委整体评阅成绩偏离度进行排序，利用占比的方法赋予其绝对权重，再根据三位评委的绝对权重转化为其实际权重。接着综合考虑评委在整体评阅成绩偏离程度和单一论文偏离程度共同作用的影响，各自权重赋予不同系数，进而求得论文的最终成绩，最后应用实例对模型进行验证。针对问题四，本文首先对原始分标准化过程进行改进，基于成绩分布接近于正态分布这一思想，将不同评委的分数整体平移到同一水平。再运用问题三模型，求得各自专家的初始权重，综合考虑初始权重和论文赋予的单一权

3、重共同作用的效果，进而求得最终成绩。本文的特色在于应用实例对模型进行检验，验证模型适用性，更加直观形象。关键词：随机分配 离差比模型 综合权重 1 问题的重述信息化条件下，如何较为客观评价一次考试或者考核成绩成为确定人才培养最终效果的重要依据。很多时候，我们的各项成绩确定往往需要多项指标共同确定，以建模竞赛为例，假设有篇论文提交，个阅卷评委，要求每一篇论文需要被多个（以3个为例）阅卷评委审阅打分，现实的情况是，不同的阅卷评委的评分标准不尽相同，有的评委阅卷比较严格，每一分都有自己的想法；也有的评委评分比较随意，所有的分都差不多，等等。问题一：建立一个合理的分配模型，首先确定每一位阅卷评委的具体

4、阅卷论文是哪些？问题二：建立一个可视化的分数回收模型，实时收集专家打分，如何将三个成绩规范为一个标准分？最后形成每一篇论文的最终成绩。问题三：在评分过程中，由于不同专家评分特点或是其他原因导致多个（以3个为例）成绩差异较大，此时如何修正模型？问题四：你有没有更好的评分策略，提出自己的想法并修改模型。比如在问题一中如何人工调控来让误差尽可能减小。2 模型的假设（1）假设评委评阅每篇论文时间相同。（2）假设评委评阅过程中互不干扰。 （3）假设论文成绩服从正态分布。（4）假设每位评委在评阅过程中标准保持不变。（5）假设论文编号加密，评委不因学校产生评阅标准偏差。（6）假设论文评分采用百分制。3 符号

5、说明符号含义评委总数论文总数位评委3人评阅组合数、论文编号循环移位数第篇论文评委成绩的算数均值第篇论文三位评委标准分的均值每位评委的权重初始权重系数评阅中的权重系数每位专家的实际权重评委评分的均值分配后论文的剩余数4 问题一模型的建立与求解4.1问题一的分析在评阅过程中，假设各评委阅卷速度相等，因此，为保证阅卷总时间达到最小，必须尽量保证各评委的阅卷数量相等或尽量一致，防止出现个人阅卷数过多并且考虑到评阅熟练度，评委最好只评阅单类论文。在分配过程中，必须保证论文不被同一评委评阅2次，三名评委不能一起搭档评阅过多论文。为简化分析和模型建立，本文假设将论文编码加密，评委无法判断所阅论文是否属于其所

6、在学校论文，首先根据、论文数量, 将评委按比例随机分配至其中一组，实际中基本很少存在按整数划分评委数量，因此引入常用的名额分配方法法，即各组取完整数部分后，按小数部分大小，逐个分配剩余评委。方法一，取其中一组分析，将论文随机进行分组，每组论文数量与评委数相等，多余论文先不于考虑，第1轮评阅将每组论文随机分配给评委，第2轮、第3轮在第1轮基础上进行移位再分配，剩余论文考虑方法同理。方法二为更优模型，首先对评委进行排列组合，再将论文随机分配给每个组合，直至论文分配完毕，尽量保证每个组合的阅卷数量一致。4.2基于随机分配的模型建立模型的准备论文总数为，评委总数为， 其中论文存在4个题目类型，根据题目

7、可将论文数分为、，分别为、论文数量，其对应评委数目为、，其中初步数据为，利用法，按照各数据小数部分大小，分配剩余评委，假设,即按照、顺序分配剩余评委，倘若分配到评委即在原有数据上加1，随机移位分配模型的建立取组研究，其中论文数量为，评委数量为，给论文逐个编号，并按照评委数量进行分组，每组论文数量与评委数量相等，每组论文随机生成，其中组数为每次评阅中，按组将论文分配给评委评阅，论文随机分配至各组，因此不具备特殊性。每篇论文需要被评委评阅3次，因此，组论文需要经过3轮评阅，故建立矩阵，其中表示第个评委，表示第组论文，第1轮评阅如图1所示由于还需要2轮评阅，第2轮、第3轮评阅分别从第1篇论文到第篇论

8、文循环移位位、位，其中满足以下条件其图2如下考虑剩余论文时，可知剩余论文数为 剩余论文评阅方法与上述方法一致，由于剩余论文数少于评委数，因此，至多3轮评阅就能完成，若分配不均，某一评委至多评阅3份论文，对总体评阅过程滞后性影响不大，故忽略评阅剩余论文过程中评委评阅量不一致的问题，仍然运用上述随机移位分配模型。随机组合分配模型的建立取组研究，其中论文数量为，评委数量为，首先对评委进行排列组合，共有组合数将论文随机平均分配给各组合，每个组合评阅论文数量剩余论文数为将剩余论文随机分配给组合，所分配到的组合评阅数加1。4.3模型的结果与评价利用MATLAB软件编程，代入真实数据实验，为便于观察，采用论

9、文数与评委数呈整数倍关系的数据，例如、，分别根据随机移位分配方法和随机组合分配方法，可得评阅分配表1、2如下：表 1 随机移位分配生成数据表评委第一次评阅第二次评阅第三次评阅11641412131056197183215111216414129817203718319151112131056481720971831916414125105613817209151112表 2 随机组合分配生成数据表组合1,2,31,2,41,2,51,3,41,3,51,4,52,3,42,3,52,4,53,4,5论文编号1815584119614107329201113121716观察表1、2可知，随机移位

10、分配方法和随机组合分配方法情况下，都不存在评委重复评阅一份试卷的现象，但随机移位分配时，同一组合存在评阅量较大现象，例如号评委组合共同评阅了4份论文，组合却没有共同评阅过论文，结果并不合理可靠，而随机组合分配时，各组合评阅量达到一致，较上种方案更为合理可靠。5 问题二模型的建立与求解5.1问题二的分析阅卷完成之后，应该根据评委所给出的初始分，对其进行客观、相对公平的预处理，使其尽可能标准化地合成每份论文的最终成绩。由于同一份论文由三个不同的评委进行评阅，不同评委评阅同一份论文是有差异的，并且其差异性是不可消除的。单独考察一个评委，他所给出的所有论文的分数，只能代表每份论文在他心目中的地位，或者

11、说是他所改论文在他心目中的一个排序，体现在分数上只表示两份论文的差异性。即不同评委给出同样的一分，对其标准总分的贡献是不相同的。如果直接用三个评委所给分数的均值进行比较论文的优劣，这样是有失公允的。故本文建立离差比模型，对每位评委的评分进行预处理，继而根据每位评委与预处理均值的偏离程度赋予不同的权重，偏离程度较小的评委说明其评分可信度较高，故赋予较大的权重。5.2模型的建立Step1：传统评分模式：算数平均分 传统评分模式的不足：传统评分模式易受干扰，一旦一个评委评分过程中与其他评委的评分相差较大，会导致整体评分偏高或偏低，从而影响整体评分的公平公正，误差较大，故不适宜采取此种评分模式。Ste

12、p2：为减小或消除不同评委所给评阅成绩带来的差异性，本文采取离差比模型，以达到此目的。设在评阅过程中，参与评阅同一份论文的三位评委在评阅所有论文过程中所给出的分数区间为：其中, , ,分别为三位评委对论文号给出的分数，为三位评委在评阅过程中各自给出的最低分，为三位评委在评阅过程中各自给出的最高分。三位评委在评阅论文号时所给出的分数在其各自对应的极差之间所占的比例为：（其中）三位评委比例的均值：三位评委调整后的分值（标准分）：三位评委标准分的均值：Step3： 设第份论文分别由、三位评委进行单独评阅，相互之间并不影响。每位评委标准分相对于标准分均值的偏差为，那么每位评委所占的权重为：Step4：

13、论文号为的论文最终成绩为：5.3问题二的结果分析利用离差比模型可以很好地消除传统阅卷模式即求算数平均值所带来的评阅评委整体给分的差异性，对初始分进行预处理之后，使得每位评委评分进一步合理公正，再进一步根据每位评委评分与标准分的差值大小，分析每位评委评分的可信程度，进而对评委赋予不同的权重，从而得到最终论文成绩。6 问题三模型的建立与求解6.1问题三的分析 在评分过程中，由于不同评委评分特点或者其他原因导致多个自身所评阅论文与他人评阅成绩差异较大，而模型三只是根据某一篇论文评分的偏离程度对评委赋予不同的权重，偶然性太强，无法真实反映评委整体评阅成绩与他人的差异性，可能赋予权重较低的评委只是在这一

14、篇论文与整体偏离程度较大，而整个评阅过程中偏离程度却较小，因而不能只依靠某一篇论文的评分的偏离程度对评委就赋予权重，应综合各评委在整体评阅过程中评阅成绩与他人评阅成绩的偏离程度以及该篇论文的偏离程度，对这两者偏离程度本文认为重要性相同，进而赋予权重，减少偶然性，增强评分模型的公平性。6.2综合权重模型的建立Step1：假设每位评委在评阅过程中，所评阅的论文数相同，评委所改的所有论文中，每一篇论文评阅调整分与标准分的偏差为，评委所改的所有论文中，每一篇论文评阅调整分与标准分的偏差为，计算出每位评委在整体评阅过程中的整体偏差和，即Step2：根据每位评委评阅分的整体偏差和，从大到小依次排序，即整体

15、偏差和最小的排名为，排名越大的赋予权重较大，假设评委在所有评委中排名为，即在整体排名中所占百分比为 Step3：对其赋予相应的绝对权重为 Step4：假设在评阅同一篇论文时，三位评委的整体绝对权重为 Step5：因同一篇论文三位评委整体绝对权重之和大于1，故应对整体绝对权重进行归一化，其对应的整体实际权重为：Step6：本文认为整体偏差程度与单一偏差程度的重要性相同，即认为权重各为，故论文号为的论文最终成绩为：6.3问题三的结果分析利用综合权重模型对评阅同一论文的三位评委赋予不同权重消除了模型二只考虑某位评委在该篇论文的偏离程度进而赋予权重做法的不合理性，进一步消除了偶然性，综合考虑了评委整体

16、评阅偏离程度与单一偏离程度，进而可以全面准确评判论文的分值，提高了论文评分的合理性。6.4应用实例 假设有20份论文，共有5位评委进行评阅，每份论文由3位的评委评阅。查阅文献假设5位评委的评阅成绩如下表所示：评委号12345均值57.3360.0562.0467.4664.15方差12.2410.6410.7911.9610.81Step1：每位评委需评阅12份论文，运用MATLAB软件根据每位评委的评阅成绩随机生成12个分值并与其评阅论文号相对应，如下表所示：1号评委2号评委3号评委4号评委5号评委论文编号成绩论文编号成绩论文编号成绩论文编号成绩论文编号成绩10561691061968155

17、7954263368197276215561261176117681860175614571863864463185616568584642066456662206016711693621065158116727019599552631464126475815591466126813638523601660137216672052195413636676661150763560567567Step3：根据附表一以及附表二生成下图，再根据以上模型运用MATLAB软件分别计算出值。试卷号评委1评委2评委3排名排名排名169586764.67 465.45 266.4121363726366.00

18、165.76165.531560676764.67 565.08465.373662676665.00 365.35365.234263637065.33 264.67564.315362606863.33 763.25863.8661261686464.33 664.03663.7971150676962.00 963.76763.5281457646662.33 862.91962.569456646361.00 1261.581062.0110758636261.00 1361.291161.65111756616861.67 1061.021261.34121959547261.67

19、1160.361460.41141056616560.67 1560.931360.72131656606761.00 1460.341560.22152052606659.33 1759.561759.67161856636059.67 1659.891659.3517852586458.00 19581858.6318954556859.00 1857.891958.13191556595757.33 2057.052058.0120结果分析：由上表可以看出，如果以为最终成绩，而不对每位评委赋予不同的权重，与实际结果相差加大，对每位评委根据单一论文评阅成绩偏离程度赋予不同的权重，可以有效提

20、高模型的合理性，进而对每位评委根据整体评阅成绩的偏离程度赋予综合权重，使得误差进一步减小，进而模型得到进一步优化。7 问题四模型的建立与求解6.1问题四的分析 在问题三中，将评委所给的原始分转会为标准分的过程中采用了差比的方法，即认为成绩分布为正态分布，而这种方法忽略了评委评分近似于正太分布这一特点，导致在原始分标准化的过程中误差较大，应根据正态分布的特点进行原始分标准化。而本文认为在进行论文评阅前，所有评委统一评阅少量论文，再根据大家的偏差和进行排序，进而赋予初始权重，再与根据评阅论文过程中赋予的权重共同讨论其评阅对论文成绩的影响。6.2模型的建立Step1：根据成绩分布近似于正态分布这一特

21、点，本文对初始分作如下调整，将每位评委的所给的分数均值平移到同一基点，这个基点选取为所有评委所给分数均值的均值。每位评委方差的不同导致每位评委所给1分对其总分的贡献度也是不同的，因此本文采用方差压缩的思想把所有评委的离散度调整到同一水平，这个水平本文选取为所有评委方差的均值，然后对所有评委所给的分数进行调整。Step2：假设所有评委给分均值的均值为，各评委的方差为，方差的均值为，记为第个评委给第份论文的原始分，那么调整后的分数为:Step3：再进行问题二中第三步，得到评阅某一论文时各评委的权重系数。Step4：在评阅开始时，要求所有评委共同评阅少量相同论文，再运用问题三的方法，确定初始权重，假

22、设评委的初始权重分别为 Step5：本文认定初始权重系数与评阅中的权重系数之和为1，即： Step6：论文号为的论文最终成绩为：6.3问题四的结果分析根据成绩分布接近于正态分布这一特点，对原始分进行调整，从而消除了不同评委评阅统一试卷分值的差异性。继而所有评委在开始时共同评阅相同少量论文，很据其总的偏差和进行排序，进而赋予初始权重。考虑到评委在评委一篇论文时的水平与整体水平有所差异，应考虑三位评委初始权重与评阅过程中赋予的权重综合作用的效果，进而合理的评价一篇论文整体水平的高低。7 模型的优缺点分析与改进方向7.1优点：（1） 问题一在进行评委分配时，引入常用的名额分配方法法，使得每位评委评阅

23、量基本一致，从而保证每位评委效率不会应评阅量不同而不同。（2） 在解决问题三时，综合考虑了评委整体评阅偏差程度和单一论文偏差程度对论文成绩的影响，避免了因单一论文偏离程度较大而影响其权重大小的不合理性，对模型进一步优化，并应用实例对模型进行验证，提高了其适用性。（3） 问题四对问题二中模型原始分标准化过程进行改进，给予成绩接近于分布这一特点，对原始分进行调整，从而消除了不同评委评阅统一试卷分值的差异性，将整体评分调整到同一水平7.2缺点：（1） 问题一中随机移位分配模型处理余数论文时，无法做到尽量均匀分配，使评阅总时间增加。（2） 本文评分过程中，给予每位评委评委相同数量的论文，而实际过程中，

24、由于论文数量的原因，导致专家评阅论文数量不一致以及每篇论文评阅量不一致，从而对成绩准确性存在一定影响。7.3改进方向：实际评阅过程中，无法保证每位评委评阅数量相同，因而导致各评委之间对每份论文的评阅产生差异性，因此应对模型进一步优化，以保证不同评阅数量下论文给分的合理性。参考文献1占海明等,基于MATLAB的高等数学问题求解,北京：清华大学出版社，2013。2赵东方, 数学模型与计算,北京：科学出版社，2007。3姜启源，谢金星，叶俊, 数学建模，北京：高等教育出版社，2005。4马莉, MATLAB数学实验与建模，北京：清华大学出版社，2010。附录：附录1.第一问的求解的主函数functi

25、on F=f1(x)R=6367;h=35800;theta1=142/360*2*pi;theta2=163.0/360*2*pi;theta3=172.0/360*2*pi;theta4=136.0/360*2*pi;theta5=130.0/360*2*pi;theta6=125.0/360*2*pi;theta7=110.0/360*2*pi;theta8=89.0/360*2*pi;theta9=76.0/360*2*pi; a1=100.32/360*2*pi;b1=11.58/360*2*pi;a2=125.58/360*2*pi;b2=36.04/360*2*pi;a3=135

26、.93/360*2*pi;b3=46.34/360*2*pi;a4=92.91/360*2*pi;b4=5.99/360*2*pi;a5=85.46/360*2*pi;b5=6.95/360*2*pi;a6=79.24/360*2*pi;b6=11.99/360*2*pi;a7=60.73/360*2*pi;b7=29.81/360*2*pi;a8=35.82/360*2*pi;b8=54.63/360*2*pi;a9=21.33/360*2*pi;b9=69.25/360*2*pi; xm1=(R+h)*cos(theta1);ym1=(R+h)*sin(theta1);zm1=0;xm2=

27、(R+h)*cos(theta2);ym2=(R+h)*sin(theta2);zm2=0;xm3=(R+h)*cos(theta3);ym3=(R+h)*sin(theta3);zm3=0;xm4=(R+h)*cos(theta4);ym4=(R+h)*sin(theta4);zm4=0;xm5=(R+h)*cos(theta5);ym5=(R+h)*sin(theta5);zm5=0;xm6=(R+h)*cos(theta6);ym6=(R+h)*sin(theta6);zm6=0;xm7=(R+h)*cos(theta7);ym7=(R+h)*sin(theta7);zm7=0;xm8=

28、(R+h)*cos(theta8);ym8=(R+h)*sin(theta8);zm8=0;xm9=(R+h)*cos(theta9);ym9=(R+h)*sin(theta9);zm9=0; if(x(1)2+x(2)2+x(3)2<63672) F=inf;else F=(xm1-x(1)*x(4)+(ym1-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm1-x(1)2+(ym1-x(2)2+(zm1-x(3)2)0.5*cos(a1)2+. (xm1-x(1)*x(7)+(ym1-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm1-x(1)2+(ym1-x(2)2+(zm1-

29、x(3)2)0.5*cos(b1)2+. (xm2-x(1)*x(4)+(ym2-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm2-x(1)2+(ym2-x(2)2+(zm2-x(3)2)0.5*cos(a2)2+. (xm2-x(1)*x(7)+(ym2-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm2-x(1)2+(ym2-x(2)2+(zm2-x(3)2)0.5*cos(b2)2+. (xm3-x(1)*x(4)+(ym3-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm3-x(1)2+(ym3-x(2)2+(zm3-x(3)2)0.5*cos(a3)2+. (xm3-x(1)

30、*x(7)+(ym3-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm3-x(1)2+(ym3-x(2)2+(zm3-x(3)2)0.5*cos(b3)2+. (xm4-x(1)*x(4)+(ym4-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm4-x(1)2+(ym4-x(2)2+(zm4-x(3)2)0.5*cos(a4)2+. (xm4-x(1)*x(7)+(ym4-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm4-x(1)2+(ym4-x(2)2+(zm4-x(3)2)0.5*cos(b4)2+. (xm5-x(1)*x(4)+(ym5-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(

31、6)-(xm5-x(1)2+(ym5-x(2)2+(zm5-x(3)2)0.5*cos(a5)2+. (xm5-x(1)*x(7)+(ym5-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm5-x(1)2+(ym5-x(2)2+(zm5-x(3)2)0.5*cos(b5)2+. (xm6-x(1)*x(4)+(ym6-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm6-x(1)2+(ym6-x(2)2+(zm6-x(3)2)0.5*cos(a6)2+. (xm6-x(1)*x(7)+(ym6-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm6-x(1)2+(ym6-x(2)2+(zm6-

32、x(3)2)0.5*cos(b6)2+. (xm7-x(1)*x(4)+(ym7-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm7-x(1)2+(ym7-x(2)2+(zm7-x(3)2)0.5*cos(a7)2+. (xm7-x(1)*x(7)+(ym7-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm7-x(1)2+(ym7-x(2)2+(zm7-x(3)2)0.5*cos(b7)2+. (xm8-x(1)*x(4)+(ym8-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm8-x(1)2+(ym8-x(2)2+(zm8-x(3)2)0.5*cos(a8)2+. (xm8-x(1)

33、*x(7)+(ym8-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm8-x(1)2+(ym8-x(2)2+(zm8-x(3)2)0.5*cos(b8)2+. (xm9-x(1)*x(4)+(ym9-x(2)*x(5)+(-x(3)*x(6)-(xm9-x(1)2+(ym9-x(2)2+(zm9-x(3)2)0.5*cos(a9)2+. (xm9-x(1)*x(7)+(ym9-x(2)*x(8)+(-x(3)*x(9)-(xm9-x(1)2+(ym9-x(2)2+(zm9-x(3)2)0.5*cos(b9)2+. (x(4)*x(7)+x(5)*x(8)+x(6)*x(9)2+. (x(4)

34、2+x(5)2+x(6)2-1)2+. (x(7)2+x(8)2+x(9)2-1)2;endend附录2.最小二乘法求解过程clc;clear; xx=-6000;-3000;-1000;yy=2000;4000;7000;zz=1000;3000;5000;vx=-30;0;30;vy=-30;0;30;vz=-30;0;30;xxx=;x0=-6000;2000;1000;1;0;1;2;1;6;30;30;30;mm=10;nn=x0;for i=1:3 for j=1:3 for k=1:3 for ii=1:3 for jj=1:3 for kk=1:3 aa1=xx(i);bb1=

35、yy(j);cc1=zz(k);vx1=vx(ii);vy1=vy(jj);vz1=vz(kk); x0=aa1;bb1;cc1;1;0;1;2;1;6;vx1;vy1;vz1; options = optimset(optimset,'MaxFunEvals',100000); x,resnorm=lsqnonlin(f1,x0,options); xxx=xxx;x; if resnorm<mm nn=x; mm=resnorm; end end end end end endend附录4：第三问的GDOP%选6颗卫星,每种方案对应的GDOP：s = load('s.txt');R=6367;h=35800;theta=s(:,1)/360*2*pi;vertix=zeros(9,3);for i=1:9 vertix(i,1)=cos(theta(i,1)*(R+h); vertix(i,2)=si