对数函数考点分析及经典例题讲解

1、 对数函数考点分析及经典例题讲解1 对数函数的定义：函数 叫做对数函数,定义域是 a的取值0a1a1定义域 图 象图像特征在y轴的右侧，过定点（1，0）即x=1时，y=0当x>0且x0时,图象趋近于 y轴正半轴.当x>0且x0时，图象趋近于 y轴负半轴.值域R性 质（1）过定点（1，0），（2）在（0，+）上是减函数（2）在（0，+）上是增函数函数值的变化规律当0<x<1时，y(0,+)当 x=1 时，y=0;当 x>1 时, y<0.当 0<x<1 时，y<0;当x=1时， y=0 ;当x>1时， y>0 .3.对数函数y=l

2、ogax(a>0,且a1)与指数函数y=ax(a>0,且a1)互为反函数 .它们的图象关于对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1） log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1； （3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67. (5)； (6)变式训练：1、已知函数，则当时， ；当时， .解析：根据对数函数的图像可得当时，；当时，答案：；考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1） ； （2） ； （3） （4）例3、选择题：若则m、n满足的条件是（ ） A、m>n>1 B、n

3、>m>1 C、0<m<n<1 D、0<n<m<1例4 、函数在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f(x)loga(a1)x1在定义域上()A是增函数 B是减函数 C先增后减 D先减后增解析：选A.当a1时，ylogat为增函数，t(a1)x1为增函数，f(x)loga(a1)x1为增函数； 当0a1时，ylogat为减函数，t(a1)x1为减函数， f(x)loga(a1)x1为增函数2、方程的解集是 3、已知函数f(x)，则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取值范围是 _解析：当x0时，3x11x10，1x0；当x0时，

4、log2x1x2，x2，综上所述：1x0或x2.答案：1x0或x24、若0<，则实数a的取值范围是 .解析：本题实际含有两个不等式，即和，由得；由得，即，答案：5、方程-的解是 解析：根据对数运算法则，方程-可化为：lglg， 即= ，解得：或，经验证，当时，不满足题意所以方程的解为：0考点三、求值域例1、（1）、 【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+1616, 又-x2-4x+12>0, 0<-x2-4x+1216. 在(0,16上是减函数, y=-4. 函数的值域为-4,+).（2）、（3）y=loga(a-ax)(a>1).

5、令u=a-ax,u>0,a>1,ax<a,x<1,y=loga(a-ax)的定义域为x|x<1, ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,y=loga(a-ax)<logaa=1,函数的值域为y|y<1.1、求下列函数的定义域、值域： 2.、求函数ylog2(x26x5)的定义域和值域解析由x26x5>0得x>5或x<1因此ylog2(x26x5)的定义域为(，1)(5，)设ylog2t，tx26x5x>5或x<1，t>0，y(，)因此ylog2(x26x5)的值域为R.3、已知满足条件，求函数的最

6、大值解：令，则；解得，即；，；当时，4、已知，求的值。解析：由得，所以有，即，则或，当时，所以应舍去，所以。所以。5、设函数，且， （1）求的值； （2）当时，求的最大值解析：由已知，得， 解得（2）在上是增函数， 的最大值为考点四、 对数函数的图像例1、已知a0且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ）【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数a进行讨论，最后选出正确选项.【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D. 故应选

7、B. 解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过(-1,0),以上图象均不符合这些条件. 若a>1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数 (图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.例2、已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的图象， 则a1，a2，a3，a4的大小关系是()Aa4a

8、3a2a1Ba3a4a1a2Ca2a1a3a4Da3a4a2a1解析：选B.由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用logaa1结合图象求解例3、函数ylog2|x|的大致图象是()解析：选D.当x>0时，ylog2xlog2x；当x<0时，ylog2(x)log2(x)，分别作图象可知选D.巩固练习：1、已知集合Ay|ylog2x，x>1，By|y()x，x>1，则AB()Ay|0<y< By|y>0 C DR答案B解析Ay|ylog2x，x>1y|y>0，By|y()x，x>1y|0<y< ABy|y>

9、;0，故选B.2、已知函数f(x)|lgx|，若ab，且f(a)f(b)，则ab()A1 B2 C. D.解析：选A.如图由f(a)f(b)，得|lga|lgb|.设0ab，则lgalgb0. ab1.3、函数yloga(x2)3(a0且a1)的图象过定点_解析：当x1时，loga(x2)0，yloga(x2)33，过定点(1,3)答案：(1,3)4、已知函数f(x)，g(x)log2x，则f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为()A1 B2C3 D4答案：B5、函数y=loga(4-x) 的定义域是_ (其中a>0,a1) 6、比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 23.4

10、 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3） log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 )7. 比较下列各题中两个值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.48已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n

11、(a>1)考点五、求最值例1、已知x1,9,求的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域， 最后用换元法求出函数的值域.【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3. 函数f(x)的定义域为1,9, 要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须1x29， 1x9. 1x3,0log3x1.令u=log3x，则0u1. 又函数y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函数, 当u=1时，函数y

12、=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=f(x)2+f(x2)有最大值为13.例2、（1）若且，求的取值范围。（2）已知，求的取值范围；例3、解下列方程：（1） 、 （2）、（3）、 （4）、例4、解不等式：（1）、 （2）、变式训练：1、函数f(x)loga|x1|在(0,1)上是减函数，那么f(x)在(1，)上()A递增且无最大值 B递减且无最小值C递增且有最大值 D递减且有最小值答案A解析当0<x<1时，f(x)loga(1x)在(0,1)上是减函数，a>1，当x>1时，f(x)loga(x1)在(1，)上为增函数，且无最大值，故

13、选A考点六、求变量范围例1、已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值， a>0，=4-4a<0，（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 当a<0时，这不可能；当a=0时，(x)=2x+1R成立；当a>0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)， 需a>0，=4-4a0， 综上所述，0 a1.例2、函数f(x)log(3x2ax5)在1，)

14、上是减函数，求实数a的取值范围解：令t3x2ax5，则ylogt在1，)上单调递减，故t3x2ax5在1，)单调递增， 且t0(即当x1时t0) 因为t3x2ax5的对称轴为x，所以8a6.例3、若函数g(x)log3(ax22x1)有最大值1，求实数a的值解：令h(x)ax22x1，由于函数g(x)log3h(x)是递增函数，所以要使函数 g(x)log3(ax22x1)有最大值1，应使h(x)ax22x1有最大值3， 因此有，解得a，此即为实数a的值变式训练：1、设0a1，f(x)loga(a2x2ax2)，则f(x)0的x的取值范围是_解析：loga(a2x2ax2)0a2x2ax21(

15、ax)22ax30ax3xloga3. 答案：(，loga3)2、设a>0，a1，函数f(x)alg(x22x3)有最大值，则不等式loga(x25x7)>0的解集为_解析：设tlg(x22x3)lg(x1)22当xR时，tminlg2.又函数yf(x)有最大值，所以0<a<1.由loga(x25x7)>0，得0<x25x7<1，解得2<x<3.故不等式解集为x|2<x<3答案：(2,3)3、求函数f(x)loga(3x22x1)(a>0，a1)的单调区间解：当a>1时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，) 当

16、0<a<1时，f(x)的增区间为(，)，减区间为(1，)4、函数的定义域为，求k的取值范围解析：由题意得：恒成立，对于方程，解之得：5、对于函数，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围解析：记，（1）恒成立，的取值范围是；（2） “的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为命题等价于，a的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，所以有： 解得：或的取值范围是6、函数y=log在2，+)上恒为正，求实

17、数a的范围。分析：本题中的隐含条件是，注意到该点，那么问题就可转化为二次不等式恒成立的问题。解：若函数在2，+)上恒为正，则必有a>1，那么原问题就是>1在2，+)上恒成立时，求a的问题。若>1，即，由于x>0,，所以a<x+，又在2，+)上是增函数，当x=2时，最小，所以a<2+=，因此实数a的范围是 1<a<.考点七、对数的综合应用例1、已知函数f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)x为何值时，函数值大于1.解析(1)f(x)loga(ax1)有意义，应满足ax1>0

18、即ax>1当a>1时，x>0，当0<a<1时，x<0因此，当a>1时，函数f(x)的定义域为x|x>0；0<a<1时，函数f(x)的定义域为x|x<0(2) 当a>1时yax1为增函数，因此yloga(ax1)为增函数；当0<a<1时yax1为减函数， 因此yloga(ax1)为增函数综上所述，yloga(ax1)为增函数(3)a>1时f(x)>1即ax1>aax>a1x>loga(a1)0<a<1时，f(x)>1即0<ax1<a1<ax<

19、a1loga(a1)<x<0.例2、求证：函数f（x）=lg是奇函数.分析：函数奇偶性判定的一般方法是什么？定义式是什么？步骤是什么？为什么在奇偶性的讨论中一定要求定义域关于原点对称?例3、设AxR|2x，定义在集合A上的函数ylogax(a>0，a1)的最大值比最小值大1，求a的值解析a>1时，ylogax是增函数，logaloga21，即loga1，得a.0<a<1时，ylogax是减函数，loga2loga1，即loga1，得a.综上可知a的值为或.例4、已知f(x)loga(a>0且a1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断yf(x)的奇偶性

20、；(3)求使f(x)>0的x的取值范围解析(1)依题意有>0，即(1x)(1x)>0，所以1<x<1，所以函数的定义域为(1,1)(2)f(x)为奇函数因为函数的定义域为(1,1)，又f(x)logaloga()1logaf(x)，因此yf(x)为奇函数(3)由f(x)>0得，loga>0(a>0，a1)，当0<a<1时，由可得0<<1，解得1<x<0；当a>1时，由知>1，解此不等式得0<x<1.例5、已知f(x)loga(a0，a1)是奇函数(1)求m的值；(2)讨论f(x)的单调性

21、解：(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)logalogaloga0对定义域内的任意x恒成立，1，(m21)x20，m±1.当m1时，1，函数无意义，m1.(2)由(1)知，f(x)loga，定义域为(，1)(1，)，求导得f(x)logae.当a1时，f(x)0，f(x)在(，1)与(1，)内都是减函数；当0a1时，f(x)0，f(x)在(，1)与(1，)上都是增函数例7、判断函数f（x）=ln（x）的奇偶性.例8、（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函数；（2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学

22、生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.例9、已知f（logax）=，其中a0，且a1.（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数.分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.解：用换元法求出f(x)的解析式，由于其中含有字母，故需讨论设tlogax，则xat，f(t)·即f(t)(atat)f(x)(axax)f(x)的定义域是(，)，设x1<x2，则f(x1)f(x2)(ax1ax1)(ax2ax2)·.a>0，a1，ax1a

23、x2>0,1ax1ax2>0.若0<a<1，则ax1>ax2，ax1ax2>0.此时<0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)同理若a>1，f(x1)<f(x2)综上所述，当a>0且a1时，f(x)在(，)上是单调函数，是单调增函数变式训练：1、f(x)log2的图象关于原点对称，则实数a的值为_解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数，所以f(x)f(x)0，即log2log20log20log21，所以1a1(负根舍去)答案：1考点八、反函数例1、已知a>0,且a1，函数y=ax与y=loga(-x

24、)的图象只能是（ ） 【分析】分a>1,0<a<1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系.【解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C. 其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B.解法二：若0<a<1，则曲线y=ax下降且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)上升且过(-1,0)，而选项均不符合这些条件. 若a>1，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件.解法三：如果注意到y=

25、loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数 （图象关于直线y=x对称），则可直接选B.1、已知函数f(x)的反函数为g(x)12lgx(x>0)，则f(1)g(1)()A0B1C2D4答案C解析g(1)1，f(x)与g(x)互为反函数，f(1)1，f(1)g(1)2.2、若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)()Alog2x Blogx C. Dx2解析：选B.yaxxlogay，f(x)logax，alogaf(x)logx.3、 函数的反函数的解析表达式为（ ）ABCD解析：由

26、已知得，运用指、对数式的互化，得，所以其反函数的解析式为，即故选A考点九、对数函数图像的变换 1函数的图象是由函数的图象向左平移2个单位得到。 2. 函数的图象是由函数+3的图象向右平移2个单位，得到。 3. 函数（）的图象是由函数的图象 当时先向左平移 b个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向右平移| b|个单位，再向上平移c 个单位得到; 当时先向左平移 b个单位，再向下平移|c |个单位得到; 当时先向右平移| b|个 单位，再向下平移|c| 个单位得到。4.说明：上述变换称为平移变换。例1、说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1) ； (2)(3) ； (4) 练习、怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？ (1)； (2)；变式训练：1、已知,其中,则下列各式正确的是 ( ) A B C D 2. 函数（a为常数，a>1）的大致图像是 （ ）解析：函数（a为常数，a>1）的定义域为（0，+），删掉A、C选项，在定义域内是减函数，删掉B选项，故选D。另外本题也可以利用函数图象的对称变换，函数的图象与函数的图象关于x轴对称，从而可知，故选D。答案：D3、已知函数，且，则的图像必过点（ ） ABCD解析：因为函数，且的图像恒过定点，的图像向右