导数及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.5.掌握定积分的基本性质及应用知识点一导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，表示为f(x0)，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二基本初等函数的导数公式(1)c0.(2)(x

2、)x1.(3)(ax)axln a(a>0)(4)(ex)ex.(5)(logax)()(a>0，且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos x.(8)(cos x)sin x.知识点三导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)知识点四复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyu·ux.知识点五函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，

3、如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x<a时，f(x)>0，当x>a时，f(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x<a时，f(x)<0，当x>a时，f(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的极值与

4、端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值知识点六微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)知识点七定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)类型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a>0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f

5、(x)在x3处的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1，f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1直

6、线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b .答案15解析由题意知f(2)3，则a3.f(x)x33x1.f(2)3×2239k，又点(2,3)在直线y9xb上，b39×215.类型二函数的单调性、极值、最值问题例2设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小

7、值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22a

8、x1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力跟踪训练2已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a<0.(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求a的值解(1)当a4时，由f(x)0 (x>0)，得x或x2.由f(x)>0，得x(0，)或x(2，)，故函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，)(2)因为f(x)，a<0，由f(x)0，得x或x.当x(0，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减；当x(，)时，f(x)单调递增

9、，易知f(x)(2xa)20，且f()0.当1，即2a<0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a±22，均不符合题意当1<4，即8a<2时，f(x)在1,4上的最小值为f()0，不符合题意当>4，即a<8时，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4上取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意综上，a10.类型三生活中的优化问题例3某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每

10、年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)

11、，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x<2时，g(x)>0；当2<x3时，g(x)<0.故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数，所以当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大反思与感悟解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与

12、最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(3)验证数学问题的解是否满足实际意义跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本

13、为(200rh160r2)元又根据题意得，200rh160r212 000，所以h(3004r2)从而V(r)r2h(300r4r3)因为r>0，又由h>0，可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类型四定积分与微积分

14、基本定理例4(1)设f(x)则f(x)dx .答案解析f(x)dxx3dx(32x)dxx4|(3xx2)|.(2)如图所示，直线ykx将抛物线yxx2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴的两交点的横坐标分别为x10，x21，所以抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx()|.抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标分别为x10，x21k，所以(xx2kx)dx(x2)|(1k)3，又知S，所以(1k)3，于是k11.反思与感悟由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标(3)确定积分区间与被积函数

15、，转化为定积分计算(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和跟踪训练4执行如图所示的程序框图，则输出的T的值为 答案1函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()A(，2 B，)C2,3 D，)答案D解析不妨取a1，又d0，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，当x>时，y>0，即单调递增区间为，)故选D.2函数F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无

16、最小值答案C解析因为F(x)(t(t4)dt)x24x，所以F(x)无最大值，当x4时，F(x)取最小值.故选C.3.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于()A1 B0C2 D4答案B解析直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，f(3)1.又点(3,1)在直线l上，3k21，从而k，f(3)k.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，则g(3)f(3)3f(3)13×()0.4体积为16的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为

17、l.16r2l，即l.则S表面积2r22rl2r22r×2r2，由S4r0，得r2.当r2时，圆柱的表面积最小5设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)，知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1，所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0

18、，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题4不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，

19、积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标课时作业一、选择题1函数yf(x)在xx0处的导数f(x0) 的几何意义是() A在点xx0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案C2如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒答案A解析ss(t)2t，s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度为s(2)2.3a(x26x,5x)，b，已知f(x)a·b，则f(x)等于()Ax

20、26x5 Bx26x5C.x33x25x Dx23x25答案A解析f(x)a·b(x26x,5x)·x33x25x，则f(x)x26x5.4已知函数yxln(1x2)，则y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值答案D解析y10，且仅在有限个点上等号成立，函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值5若函数f(x)x3(2b1)x2b(b1)x在(0,2)内有极小值，则()A0b1 B0b2C1b1 D1b2答案C解析f(x)x2(2b1)xb(b1)(xb)x(b1)令f(x)0，则xb或xb1，且xb1是极小值点，0b12，1b1.6设函数

21、f(x)xaax(0a1)，则f(x)在0，)内的极大值点x0等于()A0 Ba C1 D1a答案C解析f(x)(xaax)axa1aa(xa11)令a(xa11)0，0a1，x1.当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.x1是0，)内的极大值点二、填空题7计算dx .答案4ln 3解析dx×32ln 34ln 3.8函数f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a ，b .答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，令f(x)0，解得x10，x2，x3.f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，9在平面直角坐标系xOy中

22、，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 答案(2,15)解析y3x210，令y2，解得x±2.又点P在第二象限内，x2，此时y15，点P的坐标为(2,15)10已知曲线y与直线xa，y0所围成的封闭区域的面积为a3，则a .答案解析由题意a3dx|，即，解得a.11若函数f(x)(a>0)在1，)上的最大值为，则实数a的值为 答案1解析f(x)，当x>时，f(x)<0，f(x)单调递减；当<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增若1，即a1，则当x1，)时，f(x)maxf()，解得&l

23、t;1，不合题意，<1，且当x1，)时，f(x)maxf(1)，解得a1，满足<1.三、解答题12求抛物线yx24x3与其在点(0，3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积解如图，y2x4，y|x04，y|x32.在点(0，3)处的切线方程是y4x3，在点(3,0)处的切线方程是y2(x3)联立方程组得交点坐标为.所以由它们围成的图形面积为S.13有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：P，Q，今共有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解设对乙种商品投资x万元，