导数第一节讲解练习

1、精选优质文档-倾情为你奉上§3.1导数的概念及其运算1.函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为_，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为_.2.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率_为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) _.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点_处的_.相应地，切线方程为_.3.函数f(x)的导函数称函数f(x)_为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4.基本初等函数的导数公式原函

2、数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_f(x)xn (nQ*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f(x)ln xf(x)_5.导数运算法则(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)·g(x)_；(3)_ (g(x)0).6.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于_的导数与_的导数的乘积.难点正本疑点清源1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0

3、处的导数f(x0)是一个常数；(2)函数yf(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数yf(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f(x0).这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.2.曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线.(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线

4、经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.1. f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_.2.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.3.已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_.4.已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行于3xy0，则点P的坐标为_.5.已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 ()A.3 B.2 C.3或2 D.题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y在x0到x0x之间的平均变化率.探究提高求函数f(x)平均变化率的步骤：求函数值的增量ff(x2)f(

5、x1)；计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了. 利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)在x1处的导数；(2)f(x).题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yex·ln x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y(1).探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量. 求下列各函数的导数：(1)y

6、；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin ；(4)y；(5)y.例3求下列复合函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5).探究提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类 问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一 层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程. 求下列复合函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)yln；(3)yxe1cos x；(4)y；(5)yx.题型三导数的几何意义例4已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P

7、(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点. 已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值.1.一审条件挖隐含试题：(12分)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值.审题路线图C1与C2有交点

8、(可设C1与C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0a(等价转换)(2x02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)，即2x(a2)x02b0(注意隐含条件方程同解)ab(消元)aba2当a时，ab最大且最大值为.规范解答解(1)对于C1：yx22x2，有y2x2， 1分对于C2：yx2axb，有y2xa， 2分设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直.(2x02)·(2x0a)1，即4x2(a2)x02a

9、10 又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0 由消去x0，可得ab.7分(2)由(1)知：ba，aba2.10分当a时，(ab)最大值.12分点评本题的切入点是：两曲线有交点(x0，y0)，交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视

10、求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.失误与防范1.利用导数定义求导数时，要注意到x与x的区别，这里的x是常量，x是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.§3.1导数的概念及其运算(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2011·山东)曲线yx311在点P(1,12)处的切

11、线与y轴交点的纵坐标是 ()A.9 B.3 C.9 D.152.已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于 ()A.e2 B.e C. D.ln 23.若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为 ()A.4xy30 B.x4y50C.4xy30 D.x4y30二、填空题4.设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_.5.已知函数f(x)，g(x)满足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，则函数y的图象在x5处的切线方程为_.6.设点P是曲线yx23x3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是_.三、解答题7

12、.已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.8.如右图所示，已知A(1,2)为抛物线C：y2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：xa (a<1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.(1)求直线l1的方程；(2)求ABD的面积S1.B组专项能力提升题组一、选择题1.(2011·湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为 ()A. B.C. D.2.(2011·大纲全国)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A.

13、 B.C. D.13.已知函数f(x)x2bx的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线3xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 012的值为()A. B.C. D.二、填空题4.设函数f(x)x3x2tan ，其中，则导数f(1)的取值范围是_.5.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_.6.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21，x1,2上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_.三、解答题7.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4

14、y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案要点梳理1.2.(1) (2)(x0，f(x0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)3. 4.0nxn1cos xsin xaxln a(a>0)ex(a>0，且a1)5.(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)6.yu·uxy对uu对x基础自测1.32.23.24.(1,0)5.B题型分类·深度剖析例1解y，.变式训练1(1)(2)f(x)例2解(1)y(ex·ln x)exln x

15、ex·ex(ln x).(2)yx31，y3x2.(3)先使用三角公式进行化简，得yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(4)先化简，y·1xx，yxx.变式训练2(1)yx3x22x3sin xx2cos x.(2)y3x212x11(3)ycos x(4)y(5)ysin xcos x例3解(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成.yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.

16、(3)设yu2，usin v，v2x，则yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)设yln u，u2x5，则yxyu·ux，y·(2x5).变式训练3解(1)设u1sin x，则y(1sin x)2，由yu2与u1sin x复合而成.yf(u)·u2u·cos x2(1sin x)·cos x.(2)y(ln)·()·(x21)·(x21).(3)y(xe1cos x)e1cos xx(e1cos x)e1cos xxe1cos x&#

17、183;(1cos x)e1cos xxe1cos x·sin x(1xsin x)e1cos x.(4)设u13x，yu4.则yxyu·ux4u5·(3).(5)y(x)x·x().例4解(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为：y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为：y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yx·xx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x0

18、1)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为：x1，x0±1.切点为(1,1)或，切线方程为y1x1或yx1，即xy20或3x3y20.变式训练4解y2axb，抛物线在Q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1.又P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.课时规范训练A组1.C2.B3.A4.5.5x16y306.12x3y807.解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x±1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4).(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.8.解(1)由条件知点A(1,2)为直线l1与抛物线C的切点，y4x，直线l1的斜率k4，所以直线l1的方程为y24(x1)，即4xy20.(2)点A的坐标为(1,2)，由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，点D的坐标为(a，4a2)，ABD的面积为S1×|2a2(4a2)|×|