学年论文-1new

1、数值计算方法二分法的实际应用数学091班 xxx 指导教师：xxx（xxxx大学xx院 陕西 xx 710021）摘 要：本文根据二分法不断取中点,区间不断缩小且区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值的无限逼近的极限思想，与区间迭代的数值算法,从方程的近似解、求函数零点的近似值以及解决实际问题三个方面渗透了算法思想，具体描述了二分法的应用。关键词：二分法，区间，精度Practical Application of the Numerical MethodBisection MethodAbstract: In this paper, according to the dichotomy

2、 constantly take the midpoint, shrinking the interval of interval and the midpoint gradually approximation equation root (or function zero) precise value of the limits of the infinite approximation thought, and interval iteration numerical algorithm is proposed, from the approximate solution of the

3、equation for function approximation of zero and solve practical problems through three aspects, detailed description of the arithmetic idea dichotomy.Key words : Dichotomy, range, precision原文摘 要：原文数值计算方法二分法的实际应用 根据大二第二学期在数值计算方法课程中对于二分法求解非线性方程的算法之后，了解到二分法具有：算法简单，轻易理解，且总是收敛的的优点，所以现在依据所学知识用二分法解决求方程的近似解

4、、求函数零点的近似值以及实际问题。1 二分法解题的模型1）计算的有根区间端点处的值 ；2）计算的区间中点的值；3）若为有根区间，否则为有根区间；4）对重复上述步骤，即： ，且根据误差估计二分到一定次数达到精度，从而求得近似值。2 二分法的应用在二分法中,由于不断取中点,区间不断缩小,区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值,所以二分法体现了无限逼近的极限思想,主要有以下三方面的应用。1) 二分法求方程的近似解例1 用二分法求方程在区间的实数解。(精确度0.01) 解 设,由,由零点存在性定理知,区间可作初始区间,用二分法逐次计算列表如下:由于精确度,二分次数是6次时,|2.53125-2

5、.515625|=0.015625>0.01,不合题意;当二分次数是7次时,|2.5234375-2.515625|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取为2.5234375。因此，精确度与方程的精确解和近似解的差的绝对值有关,若这个绝对值小于某个数值,那么这个数值就是精确度.即若设方程的精确解为,近似解为,由于和都位于区间上,则。相关精确定义：若区间的长度,则称为方程近似解的精确度,此时.所以区间任意一个值都是满足精确度的近似解,故该题取区间上的任何一个值都符合题意,为方便不妨取区间的端点作为近似解。2) 用二分法求函数零点的近似值例2 已知函数。(1)当精确度为

6、0.01时,二分的次数最少为多少次可确定零点的近似值?(2)用二分法求1,1.5的一个零点.(精确到0.01)解 (1)设函数零点的精确值为,近似值为,由精确度定义可知,又,所以,即,则,即二分的次数最少为6次可确定零点的近似值。(2)由,根据零点存在性定量可知,区间可作为初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:当二分次数是5次时,|1.3281-1.3125|=0.0155>0.01,不合题意;当二分次数是6次时|1.3281-1.3203|=0.0078<0.01,符合精确度要求,综上，即为所求零点。因此，该题首先要满足精确度0.01,二分次数需6次,此时区间1.3203,1.3

7、281两端点精确到0.01,近似值不同,所以再取中点即为所求零点。当区间两端点精确到0.01数值相等时,函数零点的近似值即为端点的近似值,如在例1中,区间两端点精确到的近似值都是2.52,那么该方程精确到0.01的实数解就是2.52,从中可看出“精确度”和“精确到”是有区别的,“精确到”往往和有效数字“形影不离”,是一个近似值,而“精确度”与精确值和近似值的差的绝对值有关,它可取区间上的任何一个值作为近似值。3)用二分法思想解决实际问题 例3 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的一条10km的电话线路发生了故障,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段地查找,每查一次要爬一次

8、电线杆,10km长的线路大约有200余根电线杆,维修电路的工人师傅如何工作才能把故障的范围缩小到100m以内?至少要查多少次?解 设A表示闸门,B表示指挥部,他首先从中点C点查,用随身带的话机向两端测试时发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中点D来查,这次发现BD段正,可见故障在CD段,再到CD的中点E来查每查一次,就把待查的线路长度缩短一半,则由精确度定义得10×10，32且,解得,即至少查7次就可以把故障发生的范围缩小在100米以内。数学分析和数值实践表明，该算法不仅能够正确判定设计方程是否有解，而且在有解的情况下能够正确求出该解，计算量小，计算过程稳定,但有以下缺点：收敛速度太慢，优点浪费时间浪费时间，总之，二分法不仅可用来求方程的近似解以及函数的零点,还可以用来查找线路、水管、气管,还能用于实验设计、资料查询等,做到在最短的时间内用最小的精力去解决问题。3 总结二分法本质上是一种区间迭代的数值算法，还体现了非此即彼的哲学思想,它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识,渗透了算法思想,还体现了非此即彼的哲学思想,它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识,因此在很多方面都很有用。 参考文献1 曾毅.改进的遗传算法在非线性方程组求解中的应用J.华东交通大学学报.2004.(04).136-138 2