高三一轮复习导学案62——用样本估计总体

1、§11.2用样本估计总体1频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_，另一种是用_(2)在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示，各小长方形的面积总和等于_(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着_的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为_，它能够更加精细的反映出_(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以_ _，而且_，给数据的_和_都带来方便2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中

2、，出现次数_的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数平均数：样本数据的算术平均数，即_在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该_(2)样本方差、标准差标准差s ，其中xn是样本数据的第n项，n是_，是_是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的_通常用样本方差估计总体方差，当_时，样本方差很接近总体方差难点正本疑点清源1作频率分布直方图的步骤(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分

3、布的形状2对标准差与方差的理解标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差1一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为_2已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a<b<c<d，则这组数据的众数为_，中位数为_，平均数为_3(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差

4、s2_.4一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：10,20),2；20,30),3；30,40)，x；40,50),5；50,60),4；60,70),2；则x_；根据样本的频率分布估计，数据落在10,50)的概率约为_5若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()8979316402A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5 D92和92题型一频率分布直方图的绘制与应用例1某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率145.5149.580

5、.16149.5153.560.12153.5157.5140.28157.5161.5100.20161.5165.580.16165.5169.5mn合计MN(1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5165.5 cm范围内有多少人？探究提高用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所

6、有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1. 从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是13642，最右边一组的频数是6. 请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)样本的容量是多少？(2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比题型二茎叶图的应用例2某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538乙：5155585215435325

7、59536548527531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数探究提高(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据 的数字特征，进一步估计总体情况 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,4

8、43, 445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价探究提高(1)平均数与

9、方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小(2)平均数、方差的公式推广 若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是ma. 数据x1，x2，xn的方差为s2.as2(xxx)n2；b数据x1a，x2a，xna的方差也为s2；c数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2.甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算两组数据的平

10、均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些13.统计图表中概念不清、识图不准致误试题：(5分)如图所示是某公司(共有员工300人)2011年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的共有_人学生答案展示180审题视角(1)计算1.4万元1.6万元之间的频率(2)由频率和总人数求年薪在1.4万元1.6万元之间的人数正确答案72批阅笔记解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元1.6万元之间的频率为1(0.020.080.10)×20.60，从而得到员工中年薪在1.

11、4万元1.6万元之间的共有300×0.60180(人)的错误答案.方法与技巧1用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计2若取值x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均值为x1p1x2p2xnpn；若x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则ax1b，ax2b，axnb的平均数为ab，方差为a2s2.失误与防范1不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，

12、纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度连续随机变量在某一点上是没有频率的2几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线(4)用茎叶图的优点是原

13、有信息不会被抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了课时规范训练 (时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1如右图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A84,4.84 B84,1.6C85,4 D85,1.62为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为235631，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是()A32 B27 C24 D333为了

14、了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83二、填空题4(2010·北京)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)由图中数据可知a_.若要从身高在120,130)，130,140)，140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140

15、,150内的学生中选取的人数应为_5在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列an，已知a22a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为_6某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h的约有_辆(注：分析时车速均取整数)三、解答题7某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1

16、 000,1 500)(1)求居民收入在3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2 500，3 000)的这段应抽取多少人？B组专项能力提升题组一、选择题1甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是 ()A甲>乙，且甲比乙成绩稳定B甲>乙，且乙比甲成绩稳定C甲<乙，且甲比乙成绩稳定D甲<乙，且乙比甲成绩稳定2某工厂对一批产

17、品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,106，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ()A90 B75 C60 D453一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x25x40的两根，则这个样本的方差是()A3 B4 C5 D6二、填空题4某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号

18、4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2_.5某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_6已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_、_.三、解答题7某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：0,0.5),4；0.5,1),8；1,1.5),15；1.5,2),22；2,2.5),25；2.5,3),14；3,3.5),6；3.5,4

19、),4；4,4.5),2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？答案要点梳理1(1)样本的频率分布估计总体的分布样本的数字特征估计总体的数字特征(2)各小长方形的面积1(3)样本容量 组数总体密度曲线总体在各个范围内取值的百分比(4)保留所有信息可以随时记录记录表示2(1)最多最中间(x1x2xn)相等(2)样本容量平均数标准差 平方样本容量接近总体容量基础自测152.c 33.24.40.75.A题

20、型分类·深度剖析例1解(1)由题意M50，落在区间165.5169.5内数据频数m50(8614108)4，频率为n0.08，总频率N1.00.(2)频率分布直方图如下图：(3)该所学校高一女生身高在149.5165.5 cm之间的比例为0.120.280.200.160.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76342(人)变式训练1解(1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为，.设该样本容量为n，则，所以样本容量为n48.(2)由以上得频率分布表如下：成绩频数频率50.5,60.5)360.5,7

21、0.5)970.5,80.5)1880.5,90.5)1290.5,100.5)6合计481(3)成绩落在70.5,80.5)之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和.(4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为×100%93.75%.例2解(1)两学生成绩的茎叶图如图所示(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为537， 乙学生成绩的中位数为534. 甲学生成绩的平均数为500537，乙学生成绩的平均数为500 537

22、.变式训练2解(1)如下图(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据(3)通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差例3解(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高变式训练3解(1)甲(8678