高等数学下期终模拟试卷及答案

1、高等数学(下)期终模拟试卷(一)一、填空题(每小题2分,共20分)1. 若，则 .2. 设,则 .3. 曲面在点处的切平面方程是 .4. 若是由曲面及平面所围成的空间闭区域, 则三重积分在柱面坐标系下的累次积分表达式为 .5. 设，则_.6. 设，其中为取正向，则 .7. 若曲面:,平面区域:,则曲面积分的二重积分表达式为 .8. 级数是绝对收敛,条件收敛,还是发散？_.9. 的幂级数展开式为 .10. 微分方程的通解为 .二、单项选择题(每小题2分,共10分)1. 函数在处( ).(A)无定义； (B)无极限； (C)连续； (D)有极限但不连续.2. 对多元函数而言,下列命题正确的是( )

2、.(A) 可微的充分必要条件是偏导数存在；(B) 可微时偏导数一定存在且连续；(C) 可微时不仅偏导数存在,而且函数本身必连续；(D) 方向导数都存在时必可微.3. 在点处( ).(A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)无极值； (D)不能确定是否取得极值.4. 设为大于零的常数, 则级数( ).(A)条件收敛；(B)发散；(C)绝对收敛；(D)时绝对收敛,时条件收敛.5. 将二次积分改变积分次序,则( ).(A)；(B)；(C)；(D).三、计算题(每小题6分,共48分)1. 设函数,其中有连续的二阶偏导数,求.2. 设曲线，求函数在点处沿上述曲线在该点处切线方向(与轴夹成锐角)的方向

3、导数.3. 求,其中是由曲线及直线所围成的区域.4. 设立体由曲面及曲面在点处的切平面所围成，求的体积.5. 计算曲面积分 , 其中为上半球面的上侧.6. 展开函数为()的幂级数，并写出收敛区间。7. 设有幂级数，(1)求级数的收敛区间;(2)求和函数.8. 解微分方程，其中为非零的实数.四、应用题(每小题8分,共16分)1. 设长方体的三个面在坐标面上，其一顶点在平面上，且. 试问长方体的高取什么值时,其体积最大?2. 已知具有二阶连续导数，且是全微分方程，求.五、证明题(本题6分) 设,并设级数和均收敛,试证明也收敛.解答：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.绝对收敛；9.,；1

4、0.二、单项选择题1.B；2.C；3.C；4.D；5.B三、计算题1. ，.2. ，在处，, 切线方向 ,在处，, .3. 原式.4. 先求曲面在点处的切平面:法向为,所以切平面方程为, 即 ,再求在面上的投影区域:由 , 消去,得 ,即:,故 .5. 补一平面片:取下侧, 则为有向闭曲面,取外侧.由高斯公式,而,所以原积分.6. 因 ,而,，即 ；,，即 故，.7. (1) ,故当时收敛,当时发散,即收敛半径为,在端点处,由于,故发散,即收敛区间为;(2) 设,逐项积分,得,所以,.8. 特征方程，所以相应齐次方程的通解为，当时，设特解为，代入得，即,此时原方程的通解为; 当时,设特解为,代

5、入得,此时原方程的通解为.四、应用题1. 目标函数 ， 约束条件，设拉格朗日函数 ，令， 解得唯一驻点 ，由实际问题，当高时，其体积最大.2. 因为是全微分方程，所以 ,得到.特征根 ，相应齐次方程的通解 设特解 ,代入得 ，即特解为,所以方程的通解为,而，得 ,所以.五、证明题由条件知，,.由题设和均收敛，故正项级数收敛，由比较判别法知正项级数也收敛，而 ,，再由的收敛性，证明了收敛.模拟试卷一讲解：一、填空题(每小题2分,共16分)1. 若，则 . 解法一：设，倒解 ， ， ， ,即解法二：，所以.2. 设, 则 . 3. 曲面在点处的切平面方程是 .解 曲面方程改写为，法向所以切平面方程为，即.4. 若是由曲面及平面所围成的空间闭区域, 则三重积分在柱面坐标系下的累次