高等数学竞赛历年题

1、2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限2计算3设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。5设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下： ，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20）证明：当， 五、（满分20分）证明：2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科类）一、计算题：1解

2、：原极限=2解： 3解：记 4解：原积分=5解： 二、解：即单调增且设则即有界。可知收敛记其极限为,有三、解： 四、证明：五、证明： 易知 2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限2计算不定积分3设，求4设，求此曲线的拐点5已知极限，求常数的值二、（满分20分）设，证明：当时，三、（满分20分）设，求的最小值五、（满分15分）设，证明：（1）为偶函数；（2）六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解答案：一1.解 =2解 =3解 =4解 ，令得当时，当时，当时，因此拐点为5解 = =1于是，由，得另解 1二、证 设则，由且，知当时

3、，。又设则，所以,从而,不等式得证.三、证 当时，故当时单调增加；当时，故当时单调减少； 当时，=。由得。当时，当时， 故是的极小值点，又=，故的最小值为 五、证 （1）（2）=六、证 设，则在上连续，在内可导，当时，是方程的解；当时，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。又，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题1、求2、计算3、设，求4、计算5、计算,其中为圆柱面.二、(20分)设,求: (1);(2) .三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，

4、并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.五、(15分)设幂级数的系数满足,求此幂级数的和函数.六、(15分)已知二阶可导,且,(1) 证明:.(2) 若,证明.一.计算题1、.解: 。2、.解: 。法二：，令。3、解: ,则，则 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、.解: , 其中如右图.5、.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、 :旋转曲面上任意取一点 则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,;在圆周上,由条件极值得:令解得: , ,;,在的最大值为,最小值为. 五、证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程-常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由