高数下复习题

1、第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一、对弧长的曲线积分例1计算, 其中L为圆周, 直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。(07)O yBAxx解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。线段OA：y = 0，0 £ x £ a，；弧AB：x=acost，y=asint，；线段OB：y=x，。所以，=。例2，其中为摆线的一拱， （）(05)解: , 原式= =例3计算，其中G 为折线ABCD，这里A, B, C, D四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2), (1,3,2)；解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB、

2、线段BC、线段CD。线段AB：x = 0，y = 0，0 £ z £ 2，；线段BC：y = 0，z = 2，0 £ x £ 1，, ；线段CD：x = 1，z = 2，0 £ y £ 2，, ；所以，= 9。二、对坐标的曲线积分 曲面积分时候加根号倒例2aayxoAB1，其中L为圆周 (x a)2 + y2 = a2 (a>0)，及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；解：将圆周ABO：(x a)2 + y2 = a2用参数方程表示：（t从0变到p）；x轴上的一线段OA为：y=0，（ x 从0变到2a）

3、；则：+。例2，其中L为圆周x2 + y2 = a2 (按逆时针方向饶行)；解：积分曲线L的参数方程为：（t从0变到2p）；则例3,其中G为有向闭折线ABCA, 这里A, B, C三点的坐标依次为点(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)；解：由A, B, C三点的坐标可得有向线段AB, BC, CA的参数方程及参数t的变化范围为:t由0变到1； t由0变到1； t由0变到1；则，= 2；=；=； 所以，=。三、两类曲线积分之间的联系例. 将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分, 其中L为:沿上半圆周x2 + y2 = 2x从点(0, 0)到点(1, 1)。解：由于L的方程

4、为 , x从0变到1, 则, 故=。四、格林公式例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos3 t，y = a sin3 t所围成的图形的面积。xoyaa解：画积分曲线如图，则所求面积为A = =。例2. 设平面曲线取正向，则曲线积分 。（06） 解： 。取：，则 。例2. 设平面曲线取逆时针方向，则曲线积分 解 , . 当x2+y2¹0时. 在L内作逆时针方向的e小圆周 l : x=ecosq, y=esinq(0£q£2p), 在以L和l为边界的闭区域De上利用格林公式得 , 即 . 因此 例3. 证明：，其中是正向一周。(07)解：因曲线为封闭曲线，,

5、满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：原式例4.设L为圆周，取顺时针方向，则（ B ）（05） (A) ；(B) ；(C) ；(D) 例5. 计算曲线积分，其中L是由点A（a，0）到点O（0，0）的上半圆周 （02）解：这里，得到 ，由格林公式例6. 计算曲线积分，其中C是由的上半圆周由点A（2，0）到点B（0，0）的弧段。（06）解：加补直线段，则与构成封闭曲线的正向，记其所围成区域为。显然， 在内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：在上，因此 故 五、曲线积分与路径无关的等价条件例1. 计算曲线积分，其中L是在圆周上由点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧解：这里，得到 ，故

6、积分与路径无关=例2. 验证在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样一个。（04）解: 这里 ，则 = 因为,所以在整个面内为某一函数的全微分. 且 例3. 验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值（03）解： P=2xy-y4+3, Q=x2-4xy3, 显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 并且, 所以在整个xOy面内积分与路径无关, 选取路径为从(1, 0)®(1, 2)®(2, 1)的折线, 则 .例4. 证明曲线积分与路径无关，并计算积分值（05）解：因为，所以积分与路径无关。取路径，得积分=例5.已知为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为( C ).

7、（02）(A) 2和2(B) 3和3 (C)2和2(D) 3和3例6设可微，如果与路径无关，则应满足的条件为（D）；（04）(A)；(B)；(C)；(D)曲面积分一、对面积的曲面积分 加根号例1. 若为的外侧，且是其外法线向量的方向余弦，则。(07)解：例2. 设曲面S是上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0)，曲面S1是曲面S在第一卦限中的部分，则有( C )。A； B； C； D。解：函数x, y, xyz在上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0)上分别关于或具有“奇函数”性质，而上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z³0

8、)关于或对称，故、，而、。另一方面，由对称性，故答案C的正确性。例3. 计算曲面积分 其中为平面在第一卦限中的部分。（06）解：，显然 。 例4, 其中曲面S为锥面被柱面x2 + y2 = 2ax所截得的有限部分。解法一：曲面S：在xoy坐标面上的投影区域D为：x2 + y2 £ 2ax，=，=。解法二：曲面S：在xoy坐标面上的投影区域D为：x2 + y2 £ 2ax，=，=（D关于对称）=。例5，其中曲面S为球面x2 + y2 + z2 = a2上z ³ h (0< h < a )的部分。解：曲面S的方程为z =，其在xoy坐标面上的投影区域D为：

9、x2 + y2 £ a2 h2，=，=+由积分区域和被积函数的对称性得=0，且= ap(a2 h2)，所以= ap(a2 h2)。二、对坐标的曲面积分 坐标 不加根号例1计算曲面积分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。(07)解：由于曲面S在xoy坐标面上的投影区域Dxy为0，所以；曲面S在yoz坐标面上的投影区域Dyz为0 £ y £ 1, 0 £ z £ 3,=;同理，曲面S在xoz坐标面上的投影区域Dxz为0 £ x £ 1, 0 £ z £ 3,=;故，=2·=。例

10、2. 计算曲面积分, 其中S是球面的下半部分的下侧。解 S的方程为, Dxy: x2+y2£R, 于是 .三*、两类曲面积分之间的联系例：计算，其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.解：曲面S可表示为z=1-x+y , (x, y)ÎDxy=(x, y)|0£x£1, 0£y£x-1, S上侧的法向量为n=(1, -1, 1), 单位法向量为 ,由两类曲面积分之间的联系可得 . 四、高斯公式例1. 计算，其中为由与所围立体的表面外侧.（04）解： 求交线的投影 由高斯公式原式= = = 例2.其中，为上半球面的上侧。(05)解: ，由高斯公式: = = 又，原积分例3. 求曲面积分其中，为上半球面的上侧。（03）解 设S1为xOy面上圆域x2+y2£R2的下侧, W为由S与S1所围成的空间区域, 则由高斯公式