题解第6章 参数估计

1、习题6.11.设总体服从二项分布：并设是从该总体中抽取的一个简单随机子样，试求的无偏估计。解：由于是从该总体中抽取的一个简单随机子样，利用矩估计法： 而：。故的一个无偏估计。2.设是来自参数为的泊松分布的一个子样，试证:（1）子样均值和子样方差都是的无偏估计。（2），也是的无偏估计。证：（1），而。为无偏估计。又：，而。为无偏估计。（2），。所以也是的无偏估计。3.设总体服从均匀分布：是从总体中抽取的一个简单随机子样，试证：及都是的无偏估计。证：因为总体服从均匀分布：当时有：，从而是的无偏估计。另：时有：，从而是的无偏估计。4.设是从正态总体中抽取的一个简单随机子样，选择适当参数，使为的无偏估

2、计。解：若为的无偏估计，则应有：。事实上：5.设总体服从泊松分布（是未知参数），是一子样。试求：的最小方差无偏估计（是正整数）。解：总体服从泊松分布，为无偏估计。另：为最小方差无偏估计。6.设是来自正态总体的一个容量为2的子样，证明：都是的无偏估计，并指出哪一个的方差最小。解：同理：都是的无偏估计。另:同理：是的所列三个估计中方差最小的无偏估计.7.设是从正态总体中抽取的一个子样，其中已知，证明：为的最小方差无偏估计。证明：为的最小方差无偏估计8. 设是从指数分布中抽取的一个子样，其中已知，证明：为的最小方差无偏估计，且还是一个相和估计。证明：为的无偏估计。为的最小方差无偏估计。再则：。从而：

3、为的最小方差无偏估计，且还是一个相和估计。习题6.21.设总体服从二项分布：并设是从该总体中抽取的一个子样，是的一个观测值，计算子样均值及子样方差。解：，2.使用仪器对同一零件进行12次测量，其结果为（单位：）：试用矩法估计该零件的尺寸，并计算测量的方差。解：,3. 设总体服从二项分布：。 其中为未知参数，是从总体中抽取的子样，求：未知参数的矩估计。解：未知参数的矩估计为：。4. 设总体服从泊松分布： 其中为未知参数，是从总体中抽取的子样，求：未知参数的矩估计及最大似然估计。解：未知参数的矩估计为：，未知参数的最大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，有:从而，有：令，得：。5.设总体具有分布密

4、度：其中是未知参数，是从总体中抽取的子样，求：未知参数的矩估计及最大似然估计。解：未知参数的矩估计为：，而：从而：。未知参数的最大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，考:从而，有：得：。6.设总体服从闭区间的均匀分布，其中是未知参数，是从总体中抽取的子样。试求：未知参数的矩估计量。解: 未知参数的矩估计为：，而：而:，从而有方程组：7.设是来自参数为的指数分布，其密度函数为：求：未知参数的矩估计量。解：未知参数的矩估计为：，另8.设是从对数正态总体中抽取的一个子样，求：未知参数的最大似然估计。解：未知参数的最大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，考:得：，9.罐中装有若干黑球和白球若干，有放回

5、的抽取一个人容量为的子样，其中有个白球，求罐子里黑球与白球之比的极大似然估计。解：，故的最大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，考:得：，得：10. 设总体服从韦布尔分布，其密度函数为：设是从总体中抽取的子样。试求：为未知参数，求的极大似然估计（已知）。解：的极大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，考:，得。11. 设总体服从分布，其密度函数为：设是从总体中抽取的子样。试求：已知，为未知参数，求的极大似然估计。解：的极大似然估计为：构造似然函数：求的驻点，考:得：12设总体服从分布，其密度函数为：设是从总体中抽取的子样。试求：为未知参数，求的矩估计。解：未知参数的矩估计为：另：，从而：习题6.

6、31.设容量的子样观测值为。求子样均值、子样方差及修正了的子样方差。解:,2. 用仪器测得炼钢平炉温度，重复测量五次，（单位：）：1789,1804,1810，1795，1801项分布：试问温度的真值在什么范围(置信度分别以:0.99与0.95；假定测量系统是没有误差的)？解：由于测量系统是没有误差，有：，置信度分为:0.99时。从而置信度分为:0.99得置信区间为：置信度分为:0.95时。从而置信度分为:0.95得置信区间为：3.为测量铝的比重，对样品共进行了16次试验，测得，求样品铝的比重的置信度为0.95的置信区间。解：，置信度为0.95。故所求置信区间为：，置信度分为:0.95时。从而

7、置信度分为:0.95得置信区间为：4某种元件的寿命（以小时计）服从正态分布，其中均未知。现测16只元件的寿命，得到 ， 。 问是否有理由认为元件的平均寿命小于258小时（置信度为0.95）。解：，置信度为0.95。故所求置信区间为：，置信度分为:0.95时。从而置信度分为:0.95得置信区间为：由于我们有95%的把握，因而可以认为元件的平均寿命小于258小时。5. 为获得某型汽车100（km/h）0(km/h)刹车距离进行了10次试验，得到数据如下（单位：米）：。 试求置信度为0.95的置信区间。解：由Excel：得到 ，置信度分为:0.95时，从而：6. 某型自动车床加工零件，抽取16个零件

8、测得其直径如下（单位mm）：s试求:方差的置信度为0.95的置信区间。解：。置信度分为:0.95，自由度为故。所求置信区间为：习题6.41设某批建筑材料的抗弯强度,现从中抽取容量为16的样本,测得样本均值,求的置信度为0.95的置信区间.解：，从而的置信度为0.95的置信区间为：2某砖瓦厂生产的砖的抗断强度服从正态分布，其中未知。现测10 只的抗断强度（单位），得到：32.5630.4829.4428.7131.3330.1727.9833.0531.2030。.15求的置信度为0.95的置信区间。解：，从而的置信度为0.95的置信区间为：3有一大批糖果，现从中随机的取16袋，称得重量（单位为

9、：g）：506508499503504510497512514505493496506502509496设糖果的重量近似的服从正态分布，试分别求出总体均值和方差的置信水平为0.95的置信区间。解：。由：，从而得置信水平为0.95的置信区间为：， 故求得所求区间：。4. 使用一测量仪器对一生产线得产品进行12次测量，得到数据如下：232。.50232。.48232。.15232。.22232。.53232。.54232。.50232。.36232。.25232。.37232。.41232。.44设总体，均未知，试分别求出总体均值的置信水平为0.95及0.99的置信区间。解：。由：，从而得置信水平

10、为0.95的置信区间为：。从而得置信水平为0.99的置信区间为：。5.取某牌子香烟8只测得其焦油平均含量为毫克，同时得毫克。求此牌号香烟的焦油含量的标准差的置信区间，置信度，假定其焦油含量服从正态分布。解：。由：，从而得置信水平为0.95的置信区间为：， 故求得所求区间：。6.抽查某食品厂生产的方便面10袋，得到数据如下：147152144151148146142149146150假定其产品重量服从正态分布，试分别求出总体均值的置信水平为0.95及0.99的置信区间。解：。由：，从而得置信水平为0.95的置信区间为：。从而得置信水平为0.99的置信区间为：。7. 已知甲、乙两射击选手进行射击训

11、练，现在得知甲选手射击12发，计算其成绩为环，现在得知乙选手射击8发，计算其成绩为环。试以0.95的置信度给出俩选手平均环数差的置信区间。解：由：得：的置信度为的置信区间为：，所求为：8. 对一个地区的学生进行健康调查，随机抽取.200名男生测得平均体重。随机抽取女生100名测得平均体重。试求男、女生平均体重之差的置信度0.98的置信区间。解：由：得：的置信度为的置信区间为：，所求为：。9.砖厂为提高产品质量，改变了生产配方。砖厂质检员随机从甲批产品抽取6块（配方改变后），从乙批产品抽取8块（配方改变前）。测得其抗断强度为(单位：)：甲批产品乙批产品已知两批产品抗断强度分别服从，。求：的置信度为0.95的置信区间。解：由：得：的置信度为的置信区间为：，所求为：10设是其子样的观测值，问：（1）如果已知，取多大时能保证的置信度为0.95的置信区间的长度不大于给定的。（2）如果未知，取