高分突破微专项1 2

1、全等三角形中的两大辅助线技巧突破点1倍长中线倍长中线法:延长三角形一边的中线至一点,使所延长的部分与该中线相等,并连接该点与这条边的一个顶点,得到两个全等的三角形.这种方法主要用于构造全等三角形或证明对应边之间的关系.倍长中线的常用添加方法(倍长中线等中线,等量关系一大片)叙述图示结论基本图形:在ABC中,AD为BC边上的中线.倍长中线:延长AD到点E,使ED=AD,连接BE.ACDEBD;根据三角形三边的关系得到:.倍长中线的变形作法一:M为AB上一点,连接MD并延长到点N,使ND=MD,连接CN;作法二:过点C作CNAB,与过点D的直线交于点N,该直线与AB交于点M.BDMCDN 如图,在

2、ABC中,AD是中线,BAC=BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.思路分析见到中线,根据倍长中线的辅助线作法,得到相等的线段,再利用三角形全等和等量代换进行证明.自主解答1.如图,在ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是. (第1题)(第2题)2.如图,在ABC中,点E,F分别在AB,AC上,点D是BC边上的中点,DEDF,则BE+CF与EF的大小关系为. 3.如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:AF=EF.4.如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中

3、点, EFAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,已知BG=CF,求证:AD为ABC的角平分线.突破点2旋转图形的旋转是近几年河南中考必考的内容.运用旋转的全等变换,证明线段相等、和差倍分关系以及角相等、和差倍分关系都是近几年中考常见的类型.旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等.旋转的基本图形图形旋转的要点利用旋转作辅助线的基本思路如图,将AOB旋转至A'OB',则AOA'=BOB'.1.找准旋转中的“变”与“不变”;2.找准旋转前后的“对应关系”;3.充分挖掘旋转过程中线段之间的关系;4.找旋

4、转点,得等边、等角;5.证全等或相似;6.利用全等或相似得到边、角关系.1.以等边三角形为背景的旋转60°(遇60°旋转60°);2.以正方形为背景的旋转90°(遇90°旋转90°);3.将分散的条件通过旋转变换集中在一块“形成合力”破解难题(若条件是分散的,则试试看把图形进行平移、旋转、翻折).如图,将AOB旋转至A'OB',连接AA',BB',则AOA'BOB'. 如图,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60°,点C为的中点,则AC的长是 .

5、0;思路分析四边形ABCD是O的内接四边形,ABC+ADC=180°,又点C为的中点,BC=CD.将ABC绕点C旋转至EDC,则A,D,E三点共线,这样就把分散的条件集中在一块了,旋转变换后的图形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三线合一”的性质和锐角三角函数求出AC的值即可.(利用旋转时,一般要满足两个条件:有相等的边,两角之和为180°)5.如图,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,则ABC的面积为. (第5题)(第6题)6.如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD上一点,BE+DF=EF,则EAF的度数

6、为. 7. 如图,在ABC中,C=90°,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上,且四边形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,则BFE和AED的面积之和为. 8.如图,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC,经过点O的直线l分别交AB,CD于点E,F.(1)试说明:SOAB=SOCD;(2)若直线l平分CD,求证:OF=AB.9.如图,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.(1)当MDN绕点D转动时,求证:DE=DF;(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.10.如图,等腰三角形ABC绕顶点B

7、逆时针旋转到A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别相交于点E,F.(1)求证:BCFBA1D;(2)当C=时,判断四边形A1BCE的形状并说明理由.一线三直角模型1.模型说明一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角.本专题主要研究一线三直角模型)2.识别方法(1)查找图形中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”;(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上, “这条直线”可能在已知角的

8、外部,也可能“穿过”这个角.3.构造一线三直角的基本步骤做题过程中,若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、定线、构相似或垂直.一线三直角的基本图形一般结论一线三直角的应用ACDBAE.特殊地,当AB=AC时,ACDBAE.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;对于平面直

9、角坐标系,在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造“一线三直角”是解决问题的关键.突破点1三角形中运用一线三直角进行相关的运算 如图,在RtABC中,C=90°,AEB=135°,BE=3,DEBE交AB于点D,若DE=,则AE的长为. 思路分析观察题图,有两个直角,即DEB和C,有“一条线”,即直线AC.过点D作AC的垂线,即可构造一线三直角模型,然后结合题中的条件用“相似+勾股”进行证明和计算.突破点2四边形中运用一线三直角求线段长 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接C

10、F,则CF的长为. 思路分析题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造一线三直角模型的直角是AFE,过直角顶点F作竖直的线(作矩形ABCD的边AD的垂线),可构造一线三直角模型,再结合题中的条件用“相似+勾股”进行相关计算.突破点3一线三直角在二次函数中的运用 抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A,B,C三点,点P在抛物线上,PEBC于点E,若PE=2CE,则点P的坐标为. 思路分析图形中与点P相关的直角顶点是E,可过点E作x轴或y轴的平行线,构造一线三直角模型,然后利用相关知识进行计算.1.在四边形ABCD中,BAD=ACB=90°,AB=AD,AC=4BC

11、,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为. 2.如图,已知ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE与CD相交于点M,则AMD=°. 3.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB的一个顶点在原点处,ABO=90°,OB=AB,已知点A(2,4),则点B的坐标为. 4.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),点B(4,0),点C在第一象限内,若ABC为等边三角形,则点C的坐标为. 5.如图,在平面直角坐标系中,把矩形OABC的顶点O放在原点处,把边OA,OC分别放在x轴的正半轴、y轴的正半轴上,点D在OC边上,把B

12、DC沿直线BD翻折,点C的对应点恰好落在x轴上的点E处,已知B(10,8),则直线BD的解析式为. 6.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45°,则BD的长为. 7.如图,在四边形ABCD中,ABC=BAD=90°,ACD=45°,AB=3,AD=4,则BC的长为. 8.如图,已知抛物线y=-x2与直线AB交于A(-2,-4),B两点,连接AO,BO,若AOB=90°,则点B的坐标为. 高分突破微专项1全等三角形中的两大辅助线技巧1.1<AD<4【解析】如图,延长AD

13、到点E,使ED=AD,连接CE.AD是ABC的中线,BD=CD,又ADB=CDE,ABDECD,AB=EC,在AEC中,AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,2<2AD<8,1<AD<4.2.BE+CF>EF【解析】如图,延长ED至点P,使DP=DE,连接FP,CP,点D是BC的中点,BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CF>FP,BE+CF>EF.3.证明:如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接B

14、G.AD是BC边上的中线,DC=DB.在ADC和GDB中,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.证明:如图,过点C作CHAB,交FE的延长线于点H,则B=ECH,BGE=H.点E是BC的中点,BE=CE.在BEG和CEH中,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD为ABC的角平分线.5.【解析】如图,将ABP以点A为旋转中心逆时针旋转60°,得ACD,过点A作AECD交CD的延长线于点E,连接PD,易得ABP

15、ACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60°,ADP为等边三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD=,PC=,PD2+CD2=PC2,CDP是直角三角形,且CDP=90°,CDP+ADP=150°,ADE=30°.在RtADE中,AE=AD=,ED=AE=,CE=CD+DE=+,AC2=3+,SABC=×AC2=.6.45°【解析】如图,将ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG的位置,得EAG=90°,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,

16、EAF=EAG=45°.7.4.51【解析】方法一:如图(1),将BEF绕点E逆时针旋转90°到GED的位置,易得EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,SBFE+SAED=SAEG=AE·EG=×2.2×4.1=4.51.方法二:如图(2),将AED绕点E顺时针旋转90°到GEF的位置,则EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,SBFE+SAED=SGBE=BE·EG=×2.2×4.1=4.51.图(1)图(2)8.(1)证明:OA=OD,可将AOB以点O为旋转中心旋转至DOG的位置,如图所示,

17、则AOBDOG,SOAB=SODG,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180°,OC=OG,C,O,G三点共线,OD为CDG中CG边上的中线,SODG=SOCD,SOAB=SOCD.(2)证明:直线l平分CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF为CDG的中位线,OF=DG,由旋转性质可得DG=AB,OF=AB.9.(1)证明:连接DC,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,CDAB,CD=DA,CD平分BCA,ECD=DCA=45°.DMDN,EDN=90°,又CDA=90°,CDE=

18、FDA.在CDE和ADF中,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,SCDE=SADF,=CD·AD=.10.(1)证明:ABC是等腰三角形,AB=BC,A=C.将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针旋转到A1BC1的位置,A1B=AB=BC,A1=A=C,A1BD=CBC1.在BCF与BA1D中,BCFBA1D.(2)当C=时,四边形A1BCE是菱形.理由:由题易得A1=A.又ADE=A1DB,AED=A1BD=,DEC=180°-.C=,A1=,A1BC=360°-A1-C-A1EC=180°-,A1=C,A1BC=A1EC,四边形A1BCE是平行四

19、边形,又A1B=BC,四边形A1BCE是菱形.高分突破微专项2一线三直角模型1.10【解析】如图,过点D作DEAC,交AC于点E.BAD=ACB=90°,AB=AD,根据一线三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.设BC=AE=a,则CE=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(负值已舍去),DE=AC=4a=4,S四边形ABCD=SABC+SACD=BC·AC+AC·DE=×1×4+×4×4=10.2.45【解析】如图,过点A作ANAB,且AN=BD,连接DN

20、,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90°,CDB+NDA=90°,NDC=90°,CDN是等腰直角三角形,NCD=45°.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四边形ANCE是平行四边形,CNAE,AMD=NCD=45°.3.(3,1)【解析】如图,过点B作x轴的垂线,垂足为F,过点A作y轴的垂线,垂足为E,两线交于点D,则ADB=BFO=90°.ABO=90°,AB=OB,根据一线三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.设AD=BF=a,BD=OF=b.

21、A(2,4),AE=2,DF=4,解得a=1,b=3.OF=3,BF=1,故点B的坐标为(3,1).4.(5,3)【解析】如图,过点C作CDAB于点D,过点D作y轴的垂线,垂足为E,过点C作CFED,交ED的延长线于点F.点A(0,2),点B(4,0),OA=2,OB=4.ABC为等边三角形,CD=AD.易知DE为AOB的中位线,DE=OB=2,AE=OA=.根据一线三直角模型,可得ADEDCF,=,解得DF=3,CF=2,EF=DE+DF=5,CF+OE=3,点C的坐标为(5,3).5.y=x+3【解析】在矩形OABC中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折叠的性质可知DE=CD,BE=BC=10.在RtABE中,AE=6,OE=OA-AE=10-6=4.根据一线三直角模型可知,DOEEAB,=,即=,解得OD=3,点D的坐标为(0,3).设直线BD的解析式为y=ax+3,将B(10,8)代入,解得a=,故直线BD的解析式为y=x+3.6.【解析】如图,过点C作CFAD于点F,过点B作BEAD,交DA的延长线于点E.在RtCDF中,ADC=45°,CD=DF=CF,CF=DF=,AF=AD-DF=4-.CFA=CAB=AEB=90°,AC=AB,根据一线三直角模型,可得ACFBAE,AE=CF=,BE=AF=4-,DE=AD+AE=4+