高阶谱非高斯有色噪声中的谐波恢复1

1、第6章 非高斯有色噪声中的谐波恢复问题（） 本章研究具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复问题。通过分析谐波信号和非高斯有色噪的三阶累积量特性，提出了基于二阶、三阶累积量的混合SVD-TLS方法(Second-and Third-order Cumulant-based Hybrid SVD-TLS，我们称作STCH-SVD-TIS)以及混合ESPRIT方法(STCH-ESPRIT)。即先由有噪观测过程的三阶累积量估计噪声模型AR部分参数，然后由AR多项式对有噪观测值进行预滤波，最后利用滤波输出过程的自相关函数并结合高分辨率谱估计方法(如SVD-TLS，ESPRIT)来估计谐波参数

2、。本章还通过标准的仿真实验验证了这两种方法的有效性和高分辨率。6.1 概述 我们知道，在现有的有色噪声中的谐波恢复方法中，主要有系统辨识方法（包括最大似然(ML)法、广义最小二乘(GLS)法和迭代逆滤波(ITIF)法、噪声模型假设(如MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法)以及四阶累积量法。综合考查上述各类方法，系统辨识方法和噪声模型假设法必须预知噪声的模型结构，然而至今不存在着任何可用于建立噪声模型的有效方法；同时，背景噪声必须为高斯噪声(MA噪声模型假设法和AR噪声模型假设法除外），因为只有在高斯假设下，上述方法的估计结果才能得到最小二乘估计。四阶累积量方法尽管不需要假定噪声模型，但它仅适

3、用于高斯背景噪声情形，当然这也是该类方法的最大优点。由此可以得出这样一个结论：现有的有色噪声中的谐波恢复方法绝大多数都是在噪声的高斯假设下进行研究的。尽管MA噪声模型假设法也可用于非高斯噪声情形，但由于MA模型用于具有尖锐谱峰的噪声模型描述时，往往需要很高的阶次，况且模型的阶次无法确定。因此有必要研究一般非高斯ARMA有色噪声中的谐波恢复方法。 在实际应用中，有色的非高斯噪声环境在声纳系统和信号检测中常常遇到，而具有非对称分布的非高斯噪声是一种很常见的情形，如指数分布、威布尔分布等，因此，研究具有非对称分布的非高斯噪声中的谐波恢复方法具有广泛的应用前景。本章首先分析了谐波信号和非高斯有色噪声的

4、三阶累积量特性，由于谐波信号的三阶累积量恒等于零，而具有非对称分布的非高斯ARMA有色噪声的三阶累积量不等于零。因此，利用有噪观测值的三阶累积量可以建立非高斯ARMA噪声的模型参数。由于有噪观测值经噪声模型的AR多项式滤波后得到的滤波输出过程的自相关函数和谐波信号预测模型的AR参数正好满足一组特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程，因此，基于自相关的高分辨率方法都可以用来确定模型的参数。基于这一点，本章提出了STCH-SVD-TLS方法和STCH-ESPRIT方法，前者通过求解线性方程组的解来实现，后者通过求解矩阵对的广义特征值来实现。6.2 模型假设设零均值有噪观测值为 (6.1)其

5、中，可以是复数谐波信号 (6.2)也可以是实数谐波信号 (6.3)这里，为谐波数目，分别为第个谐波分量的幅度、归一化频率和随机初始相位，为独立地服从同一分布的随机变量，且在上服从均匀分布。 设附加噪声为非高斯过程，即 (6.4)或 (6.5)其中，为后移因子，。 对于噪声模型，假设(AS1) 噪声模型的传递函数（单位冲激响应为）是指数稳定的，且不存在着零、极点相消；(AS2)为零均值、平稳的独立同分布非高斯白噪声，且的方差和均未知；(AS3) 与相互独立。条件(AS2)意味着为零均值且具有非对称分布的非高斯过程。由于谐波信号为零均值，因此，有噪观测过程也为零均值。本章的目的就是由有噪观测值估计

6、谐波信号参数。6.3 噪声模型的建立6.3.1有噪观测过程的三阶累积量 定理6.1 在假设（AS1）（AS3）下，式(6.1)中有噪观测过程的三阶累积量恒等于噪声过程的三阶累积量，即 (6.6) 实际上，由于与相互独立，并考虑到与均为零均值，于是 (6.7)而由定理5.1可知，谐波信号的三阶累积量恒等于零，即，于是式(6.6)成立。6.3.2 噪声模型的建立由条件(AS2)可知，于是由式(1.38)得到，即。这样利用4.6节基于三阶累积量的SVD-TLS方法可以估计非高斯噪声模型式(6.4)的阶次和参数，考虑到本章方法仅利用噪声模型的AR部分参数，因此只须确定AR阶次及参数即可。有关算的具体步

7、骤参见4.6节，这里不加详述。6.4 STCH-SVD-TLS方法6.4.1 预滤波处理式(6.1)两边同乘以并利用式(6.5)，有 (6.8)记 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12)称为滤波输出过程，为滤波谐波信号。注意到为一个非高斯噪声过程，其自相关函数为 (6.13)上式中利用了仅在内取值这一特性，因此当延时大于阶次时的自相关函数全为零。考虑到与相互独立，因而与、均相互独立，由式(6.12)得到： (6.14)6.4.2 特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程 我们知道，复数谐波信号满足具有零输入的特殊模型 (6.15)其中，且多项式 (6.16)的根为。模型参数

8、满足Yule-Walker(YW)方程，对任意 (6.17)现在讨论滤波输出过程的自相关函数与谐波信号预测模型参数之间的关系由式(6.14)得 (6.18)对于滤波谐波信号，由式(6.10)得到 (6.19)即 (6.20) 于是 (6.21)上式第二个等式利用了式(6.17)。结合式(6.18)和(6.21)，有 (6.22)如果上式中取，则上式右端中的延时均大于过程的阶次，于是由式(6. 13)和(6.22)可以直接得到 (6.23)上式就是基于滤波输出过程自相关函数的特殊的修正Yule-Walker方程我们作如下讨论：1. 对于实数谐波信号(式(6.3) )，式(6.23) 变为 (6.

9、24)2. 式(6.23)表明，滤波输出过程可以看成一过程的输出，其参数与谐波信号的预测模型的参数相同。而有噪观测过程却不是，因为 (6.25)3. 由式(5.24)可知，若为白噪声，则的自相关函数满足 (6.26)可以看出，上式只是式(6.23)的一个特例，因为如果为白噪声，则, ,于是这样式(6.23)简化为式(6.26)。6.4.3 STCHSVDTLS方法：谐波数目及谐频率的估计对于一般的过程，尽管我们通常事先不知道阶次和，但可以选取一组较大的和，并利用修正Yule-Walker方程来辨识模型的参数。引理6.1 对于过程，选择、和，则的自相关函数构造的矩阵，即 (6.27)的秩为p。如

10、果采样自相关代替，这时构造的矩阵的有效秩为p。清楚地，引理6.1也可用于过程，只需令且即可。若选择，则条件满足，于是式(6.27)中若用代替，并取，则的有效秩为p。采用6.4节中介绍的SVD-TLS方法即可以确定的有效秩及低阶AR参数。由于SVD-TLS方法是一种数值计算的鲁棒性方法，因而它可以明显而有效地改善AR参数估计性能。至此，我们把STCH-SVD-TLS方法归纳如下步骤：1. 利用观测值估计三阶累积量取，由4.6节方法构造累积量矩阵，对作SVD确定有效秩，然后利用SVD-TLS方法估计非高斯ARMA噪声过程的AR部分参数.2. 利用式(6.9)对滤波，得到滤波输出过程3. 计算滤波输

11、出过程的自相关函数，并在式(6.27)中用代替构造采样自相关矩阵。对进行SVD分解，确定其有效秩（设为P），然后利用SVD-TLS方法估计AR参数。4. 寻找AR多项式(6.16)的根，并计算谐波频率 (6.28)由于该方法同时利用了二阶和三阶累积量，故称之为基于二阶和三阶累积量的混合SVD-TLS方法（STCH-SVD-TLS）。6.4.4 谐波幅度的估计1. 复数谐波信号情形结合式(6.14)和(6.20)，并考虑到为实数，有 (6.29) (6.30)这里，记 (6.31) FS=r (6.32)其中于是得到关于的估计 (6.33)2. 实数谐波信号情形对于实数谐波信号 (6.34)其中

12、 (6.35) 类似地，令式(6.34)中得到矩阵方程 (6.36)其中 于是得到关于的估计 (6.37)6.5 STCH-ESPRIT本节研究利用滤波输出过程的自相关函数确定谐波频率和幅度的STCH-ESPRIT方法。我们知道，经典的自相关ESPRIT方法包括两大步骤：矩阵对的构造和矩阵对广义特征值的求解。因此，STCH-ESPRIT方法同样也包括这两步。6.5.1 矩阵对的构造设，并取，构造下列维向量 (6.38) (6.39) (6.40)并记 (6.41) (6.42)则由式(6.12)可得 (6.43) (6.44) (6.45)下面考查复数滤波信号向量。设谐波信号向量为 (6.46

13、)则可以表示为 (6.47)其中(6.48) (6.49)而向量 (6.50)可以表示成 (6.51)其中，旋转因子矩阵，表示矩阵的次连乘。由式(6.10)可知 (6.52)类似地，有 (6.53)若记 则上面两式可简化为 (6.54) (6.55)这样，式(6.43)至式(6.45) 即为 (6.56) (6.57) (6.58)由于与相互独立且均为零均值，所以与的互相关矩阵为 (6.59)考虑到 (6.60)且 (6.61)上式利用了和式(6.13)。于是 (6.62)类似地，与的互相关矩阵为 (6.63)若记 (6.64)则 (6.65) (6.66)而实际上 (6.67) (6.68)

14、其中，。至此，基于滤波输出过程的自相关函数矩阵对已经构造完成。6.5.2 STCH-ESPRIT方法1. 谐波数目和谐波频率的估计定理6.2 设为矩阵的广义特征矩阵，为非奇异矩阵，则旋转因子矩阵与有如下关系（只须的对角线元素作适当调整） (6.69) 证明：由于，且，所以。考虑到噪声模型是指数稳定的，于是不存在单位圆上的极点，即当时，故是维非奇异对角阵，又由于和均为维非奇异对角阵，所以也是维非奇异对角阵，于是的秩为。 考查下列矩阵束 (6.70)由于与的行空间相同，所以，通常情况下，的秩为。如果，则的第列为零，这样 (6.71)即矩阵束的秩降为，由广义特征值的定义可知，实际上就是矩阵对的广义特

15、征值。又由于矩阵对中的两个矩阵描述的是同一个空间，它们的共同零空间对应的广义特征值必为零，因此，矩阵对的个广义特征位于单位圆上，并与旋转因子矩阵的对角线元素相等，而其余个广义特征值位于原点。2. 谐波幅度的估计 重新考查矩阵，由于 (6.72) (6.73) (6.74) (6.75)式(6.74)中考虑了为实数这一事实。所以若令 (6.76)则 (6.77) 设是矩阵对对应于广义特征值的广义特征向量，则 (6.78) 由于矩阵束的行空间与由中列向量,描述的子空间相同，因此向量与所有向量(除外)都正交，即 (6.79) (6.80) 由式(6.78)得 (6.81) 由于 (6.82)上式中利用了。于是结合式(6.81)和(6.82)，有 (6.83) STCH-ESPRIT方法的步骤 STCH-ESPRIT方法可归纳为如下的步骤： 1. 由给定的观测值计算三阶累积量的估计,选取正整数和，由4.6节方法构造累积量矩阵； 2. 对进行奇异值分解(SVD)得到有效秩，并利用SVD-TLS方法估计非高斯噪声过程的AR部分参数； 3. 利用估计的参数由式(6.