对数函数的单调性、奇偶性的运用

1、精选优质文档-倾情为你奉上对数函数的单调性、奇偶性的运用 张军丽一、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所

2、以，log23.4<log28.5； 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5； 解法3：直接用计算器计算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1<lo

3、ga5.9当0<a<1时，y=logax在(0，+)上是减函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1>loga5.9解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=ax在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理 7）已知则（ ）A B C D解析：另，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又为单调递增函数， 故选C.2.

4、证明函数上是增函数. 思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则 又y=log2x在上是增函数 即f(x1)<f(x2)函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(logax)=(a>0且a1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=logax(xR+， tR).当a>1时，t=logax为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2， f(t1)-f(t2)=， 0<x1<x2， a>1， f(t1)<f(t2)，

5、f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数. 不论a>1或0<a<1， f(x)在R上总是增函数.3求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4. y=t为减函数，且0<t4， y=-2，即函数的值域为-2，+.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3. t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在1，3)上递减，而y=t为减函数. 函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为1，3.二、函数的奇偶性4

6、. 判断下列函数的奇偶性. (1) (2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用5已知函数f(x)=lg(ax2+2x

7、+1). (1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现：使u能取遍一切正数的条件是. 解：(1) f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，

8、当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a0时，有 a>1. a的取值范围为a>1.(2) f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0a1， a的取值范围为0a1.6已知函数h(x)=2x(xR)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).

9、并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a>1)，A，C中点D的纵坐标为log2a+log2(a+8) S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9， 1<1+<，又函数y=log2x在(0，+)上是增函数， 0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+，则： (1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1， a1+a2+8>0， +8