高中数学一题多解

1、几个一题多解的小例子对于一个题目多种解法很多同学往往不以为然，总是认为我做出来就可以了，为什么非要用那么多种方法。其实我们做题的目的不应该仅仅是把题目做出来，而是掌握随时随地把题目做出来的强大武器，一题多解的训练正是其一。1.一题多解可以极大的提高学习数学的兴趣。坦白讲对一题多解不以为然的同学其实因为自己只想到一种方法，如果自己也能想到这些方法，自然他也会为之兴奋；2.一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分析问题的能力；3.说的更直白一些，经常训练一题多解可以提高学生解决综合问题的能力，另外不同的思路解决同一个问题，有利于让自己的知识体系更网络化，从而

2、在考试之中利于不败之地；下面大家具体看几个例子，希望用心体会一下。例1.（2009全国1卷）若，则函数的最大值为 。法一：二次函数求最值令, 法二：二次除以一次，均值定理令当且仅当时等号成立法三：导数求单调性令则取到最大值为-8例2.（2010年高考全国卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ） (A) (B) (C) (D)第7题图法一：设PA、PB 的长度如图所示：设PA=PB=,APO=，则APB=，PO=，=，令，则，令，则等号当且仅当，即时成立。故.此时.，选择答案D。法二：设OP的长度设OP=t(t>1), APO=，则A

3、PB=, PA=PB= , = 等号当且仅当，即时成立法三：设角设APO=，则APB=, PA=PB= 。当且仅当，即时等号成立例3.（2009年山东高考数学理科20题）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以法一：数学归纳法下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式

4、也成立. 由、可得不等式恒成立.法二：构造数列设数列满足则所以原不等式等价于 显然上式成立法三：构造函数令则所以函数在定义域上单调递增所以原式成立法四：放缩法法五：均值定理例4.解不等式 法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当时，不等式可化为 （2）当时，不等式可化为 综上：解集为法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 综上：解集为法三：利用等价命题法 原不等式等价于，即 解集为法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为，不等式的几何意义时数轴上的点的距离大于，且小于，由图得， 解集为例5.椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是（ ）（A）P点有两个 （B）P点有四个 （C）

5、P点不一定存在 （D）P点一定不存在法一：以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点。故选D法二：由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D法三：由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾。故选D法四：设，由知，而无解，故选D解法五：设，假设，则，而即：，不可能。故选D法六：，故不可能。故选D法七：设由焦半径知：而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D法八：设圆方程为： 椭圆方程为：两者联立解方程组得：不可能，故圆与椭圆无交点即 不可能垂直故选D小结一下，各位同学想一想有没有过类似的经历比如讲评试卷，只要是该题做对了，甭管老师讲课时用什么方法都能难让自己注意力集中，甚至有时候即使听了老师讲的方法也会固执的认为自己的方法是最好的。结果到最后自己会做的方法还是自己原来的那种。这种事情在我历年的教学中屡见不鲜，但是真的是错误至极。一题多解首要的目的并不只是解决这道题目，我们想通过这道题目达到把各个知识