高中数学导数及其应用 131 单调性习题 苏教版选修22

1、1.3.1单调性明目标、知重点1结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)导数与函数单调性的关系(1)在区间(a，b)内，由导数的正、负判断函数的单调性导数函数的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减f(x)0常数函数(2)在区间(a，b)内，由函数的单调性判断导数的符号函数的单调性导数单调递增f(x) 0单调递减f(x)0常数函数f(x)0情境导学以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小

2、但在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单本节我们就来研究这个问题探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h(t)9.8t6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h(t)<0.思考2观察下面四个函数的图象，回答函

3、数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(，)内，y1>0，y是增函数；(2)在区间(，0)内，y2x<0，y是减函数；在区间(0，)内，y2x>0，y是增函数；(3)在区间(，)内，y3x20，y是增函数；(4)在区间(，0)，(0，)内，y<0，y是减函数小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？答不一定由思考2中(3)知f(

4、x)0恒成立思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“”连结，只能用“，”或“和”字隔开思考2中(4)的单调递减区间为(，0)，(0，)(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集例1已知导函数f(x)的下列信息：当1<x<4时，f(x)>0；当x>4，或x<1时，f(x)<0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状解当1<x<4时，f(x)>0，可知f(x

5、)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x4，或x1时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了跟踪训练1函数yf(x)的图象如图所示，试画出导函数f(x)图象的大致形状解f(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一例 2求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)sin xx(0<x<)；(3)f(x)3x22ln x；(4

6、)f(x)3txx3.解(1)f(x)6x26x36.由f(x)>0解得x<3，或x>2，由f(x)<0解得3<x<2，故函数f(x)的单调递增区间是(，3)，(2，)；单调递减区间是(3,2)(2)f(x)cos x10恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间(3)函数的定义域为(0，)，f(x)6x2·.令f(x)>0，即2·>0，解得<x<0或x>.又x>0，x>.令f(x)<0，即2·<0，解得x<或0<x<.又x>0，0

7、<x<.函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(4)f(x)3t3x2.令f(x)0时，得3t3x20，即tx2，当t0时，无解；当t>0时，函数f(x)的单调递增区间是，令f(x)0时，得3t3x20，即tx2，当t0时，f(x)0恒成立，函数f(x)的单调递减区间是(，)；当t>0时，函数f(x)的单调递减区间是(，)综上所述，当t0时，函数f(x)的单调减区间是(，)，无单调增区间；当t>0时，函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是(，)反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f(x)；(3)

8、解f(x)>0和f(x)<0；(4)定义域内满足f(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f(x)<0的区间为减区间跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)x3x2x.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.由f(x)>0得<x<0或x>，又x>0，x>，函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)<0得x<或0<x<，又x>0，0<x<，函数f(x)的单调递减区间为.(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)由f(x)>0得x<或x>

9、;1；由f(x)<0得<x<1，故函数f(x)的单调递增区间为(，)和(1，)，单调递减区间为(，1)探究点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数yf(x)的增减情况，怎样反映函数yf(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些如图所示，函数yf(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，)或(，a)内的图象“平缓”例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底

10、面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象解(1)B，(2)A，(3)D，(4)C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行跟踪训练3已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是_(填图象对应的序号)答案解析从f(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓所以比较符合1f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数y

11、f(x)的图象可能是_(填图象对应的序号)答案解析由导函数的图象可知，当x<0时，f(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f(x)>0，即函数f(x)为增函数观察选项易知正确2函数f(x)ln xax(a>0)的单调增区间为_答案解析f(x)的定义域为x|x>0，由f(x)a>0，得0<x<.3函数f(x)ln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析f(x)，令f(x)<0得x<1或<x<2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故单调

12、递减区间为(，1)4函数yx24xa的单调递增区间为_，单调递减区间为_答案(2，)(，2)解析y2x4，令y>0，得x>2；令y<0，得x<2，所以yx24xa的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(，2)呈重点、现规律1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、基础过关1命题甲

13、：对任意x(a，b)，有f(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的_条件答案充分不必要解析f(x)x3在(1,1)内是单调递增的，但f(x)3x20(1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件2函数yx2ln x的单调递减区间是_答案(0,1)解析yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y<0，即x<0，解得0<x<1或x<1.又x>0，0<x<1.3已知函数f(x)ln x，则f(2)、f(e)、f(3)的大小关系为_答案f(2)<f(e)<f(3)解析因为在定义域(0，)上f(x)>0

14、，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)4下列函数中，在(0，)内为增函数的是_ysin x；yxe2；yx3x；yln xx.答案解析显然ysin x在(0，)上既有增又有减；对于函数yxe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在(0，)内为增函数；对于，y3x213(x)(x)，故函数在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数；对于，y1 (x>0)故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数故只有符合5函数yf(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_答案2,3)

15、6若三次函数f(x)ax3x在区间(，)内是增函数，则a的取值范围是_答案(0，)解析f(x)3ax21，f(x)在R上为增函数，3ax210在R上恒成立又a0，a>0.7.已知函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，试画出函数yf(x)的大致图象解由yf(x)的图象可以得到以下信息：当x<2或x>2时，f(x)<0，函数f(x)为减函数；当2<x<2时，f(x)>0，函数f(x)为增函数；f(2)0，f(2)0.故原函数yf(x)的图象大致如图：二、能力提升8如果函数f(x)的图象如图，那么导函数yf(x)的图象可能是_(填序号)答案解析由f(

16、x)与f(x)关系可知符合9若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1，2，则b_，c_.答案6解析f(x)3x22bxc，函数f(x)的单调减区间为1,2f(x)3x22bxc0，x1,21,2是方程3x22bxc0的两个根由根与系数的关系，得b，c6.10若函数f(x)x2ax在(，)内是增函数，则a的取值范围是_答案3，)解析由题意知f(x)0对任意的x恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需amax.令h(x)2x，x.因为h(x)2，所以当x时，恒有h(x)0，即h(x)在上单调递减，所以h(x)h3，故a3.11求下列函数的单调区

17、间：(1)yxln x；(2)yln(2x3)x2.解(1)函数的定义域为(0，)，y1，由y>0，得x>1；由y<0，得0<x<1.函数yxln x的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)函数yln(2x3)x2的定义域为(，)yln(2x3)x2，y2x.当y>0，即<x<1或x>时，函数yln(2x3)x2单调递增；当y<0，即1<x<时，函数yln(2x3)x2单调递减故函数yln(2x3)x2的单调递增区间为(，1)和(，)，单调递减区间为(1，)12.已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(

18、0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)由yf(x)的图象经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)>0，得x<1或x>1；令f(x)<0，得1<x<1.故f(x)x33x23x2的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)三、探究与拓展13.已知函数f(x)mx3nx2 (m、nR，m0)，函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的