高三数学解斜三角形

1、课时考点9 解斜三角形高考要求 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 热点题型1 判断ABC的形状例1 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。解：（1） b=a

2、cosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16启示：对于涉及三角形的三角函数变换非常重要,如: A+B+C=,(; ), =sin(B+C),CosA=, , 等.另外灵活运用正弦定理、余弦定理，要注意边角互换.变式1：在ABC中，若tanAtanB，试判断ABC的形状分析：三角形分类是

3、按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2b2c2，a2b2>c2（锐角三角形），a2b2c2（钝角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，A、B为三角形的内角，sinA0，sinB02A2B或2A2B，AB或AB所以ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a4a2c2b2c2b40，即（a2b2）（a2b2c2）0，于是a2b2或a2b2c20，ab或a2b2c2AB

4、C是等腰三角形或直角三角形热点题型2 与数列及平面向量的数量积的综合例2 中，内角.的对边分别为.，已知.成等比数列，且（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）由得：由及正弦定理得：于是：（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得：于是：故：变式2：在中，.的对边分别为.。（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。解: (1) , 当且仅当时取等号, f(B)=sinB+cosB= 的值域为(2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展开,化简,得 , , cosB=

5、热点题型3 正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合运用例3 在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BE=x在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限由，则，设=（x，0），则由条件得从而x=2，（舍去）故于是解法三：过A作AHBC交BC于H，延长BD到P使BP=DP，连接AP、PC过窗PNBC交BC的延长线于N，则，而，BC=BN=CN=2，故由正弦定理得，变式3：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, ABC

6、的外接圆半径R=，且满足.(1) 求角B和边b的大小；(2) 求ABC的面积的最大值。解: (1) 由整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2) = 当A=时, 的最大值是热点题型4 (备选) 综合运用三角知识解决实际问题 例4在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解 (1)在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30°，AC= (千米)在ACB中，CAB=30°+60°=90°(2)DAC=90°60°=30°sinDCA=sin(180°AC