正余弦图像和性质

1、正弦函数、余弦函数的图像与性质 从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在0,2上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在0,2上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: 通过类比,很容易确定在0,2上起关键作用的五个点,关键点也有五个,它们是 例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x0,2; (2)y=-cosx,x0,2. 解:(1)按五个关键点列表:x0 sinx1001+sinx111描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4x2cosx1-10-cosx0-1(2)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5定义:对于函数f(x),

2、如果存在一个 T,使得当x取定义域内的 值时,都有 ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做f(x)的 .正弦函数是周期函数, (kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是 .从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2,4,6,8,都是它的周期,有无穷多个,即2k(kZ,k0)都是正弦函数的周期.例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,xR; (2)y=sin2x,xR; (3)y=2sin(-),xR.总结规律：一般地,函数y=Asin(x+)(其中A、为常数,A0,>0,xR)的周期为T

3、=.变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11)，f(-9)2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(7)，f(8)3.求函数y=2sin(-x)的周期.4.已知函数y=2sin的周期为，求的值.对于正弦函数y=sinx(xR),(1)当且仅当x=+2k,kZ时,取得最大值 .(2)当且仅当x= ,kZ时,取得最小值-1.对于余弦函数y=cosx(xR),(1)当且仅当x= ,kZ时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1),kZ时,取得最小值 .如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的-,(如图4)这段.教师

4、还要强调为什么选这段,而不选0,2的道理,其他类似. 图3 图4 图5 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间-+2k,+2k(kZ)上都是 函数,其值从-1增大到1; 在每一个闭区间 (kZ)上都是减函数,其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间 (kZ)上都是增函数,其值从-1增加到1; 在每一个闭区间2k,(2k+1)(kZ)上都是 函数,其值从1减小到-1.三角函数的性质例 函数y=3sin(x+)的性质. 解： 函数y=3sin(x+)的值域是函数y=3sin(x+)的周期是函数y=sint的单调递增区间是+2k,+2k，kZ.由-+2kx+2k, -+2kx-+2k, +2kx+2k,两边同时乘以2，得+4kx+4k,kZ.因此,函数y=3sin(+)的单调递增区间是, ，kZ.函数y=sint的单调递减区间是