浙江省首届高中数学复习教学有效性研讨会材料——以图启思思如泉涌

1、以图启思，思如泉涌大家知道，中学数学内容可以整合为数与形的两条主线，数形结合是常用的方法、老生常谈的话题了在高考时，考生对于一般的选择与填空试题还能想起或熟练使用数形结合的方法；但在面临综合函数试题时，就会忘记或不会使用数形结合的方法以下选择的四个高考代数综合试题，分别代表了四类典型的应用；这四个试题，在解决它们过程中，如果能想到数形结合（实际上是由图形诱导出解决问题的思想与方法），你所走的路就将是捷径教师在临考复习时，可以开设这样的专题性教学，对学生增强解代数综合试题的信心，提高综合的解题能力有很大帮助的！四个试题都有多种解法，本文只选择唯一解法该解法是用来揭示本文的主题思想一、动态函数，开

2、辟“形”经，穷其性质含有参变量的函数我们可以称为动态函数，动态函数的图像由于其参变量的变化，图像类型（大致形状）大多数也要紧跟着变化、复杂而不确定，因此，教师、学生往往就不会往数形结合去考虑；可少数情形就不同，图像类型不会跟着参变量的变化而变化，大致还是确定的，其性质也是稳定的，这样的情形务必要联系图形，利用图形来指导代数思想进行解题例1（2012年浙江省高考样卷压轴题）设函数在内有极值（I）求实数的取值范围；（II）若，求证：注：是自然对数的底数分析：此题如果按一般审题方法着手思考，就要走很多弯路；其实，假如你先思考这个复合函数的大概图象，你就会找到解决问题的捷径当然，你首先要注意到的是，函

3、数的定义域是；若，由函数及在区间和分别是增函数，可得在定义域内的两个区间上都是增函数，与“函数在内有极值”条件矛盾；同理这样就得；先由的图象1，结合的大概图象2，就可以得到函数的大概图象3，它的形状是稳定的，不会因（）的变化而变化对题中的函数图象就有了这样准确的判断：在区间（0,1）内函数值都小于0，先递增后递减；在区间内，函数值都大于0，先递减后递增这样的判断，不仅有利于问题（I）的解决，更有利于问题（II）理解与解决了解：（I）函数的定义域是；，当时，有，所以，由上式分子是二次函数，题意就转化为在有解且符合极值点要求，令，不妨设，由且可得；因此，就有，得（II）由得或；由得或；所以得在内递

4、增，在内递减，在内递减，在递增由，则，由得，所以，由且得，由，又在时是递增的，所以，即评注：在（I）中很少学生会使用两根式方法设定的，为满足在有解且符合极值点要求，即有两个不同的根，且小的根在区间内，只能得到如下的三个图，图4就能推得，图5和图6均无解本题解题关键是能得到条件，它是关于函数中变量的取值范围二、确定函数，理顺思路，呈现方法 综合代数试题给出的函数中不含有参变量，就是一个确定的函数，那它的图像不象前面一样，应该是确定的确定的函数，更应该画出图像，借助图像来寻找、获得或建立使问题解决的代数方法例2（2011年湖南理压轴题）已知函数，（I）求函数的零点个数，并说明理由；（II）设数列满

5、足，证明：存在常数M，使得对于任意的，都有成立分析：这个试题在去年高考后不久便被一个老师引入到我校新高三的一份试卷中；一开始，新高三的数学老师基本上对第（II）题解题毫无头绪、无法入手，都说没有见过这样的试题，个别老师见了答案后还无法理解为什么要这样的分类；事后都认为这个试题太好了！其实思维的障碍就是在单纯地用代数思想去解决问题了假如大家先画一个大概的图象，即心中有了如图的图象，整个问题的解决尤其问题（II）的对的分类讨论就不是很难了，思维、方法涌出就水到渠成（I）函数的零点个数由图所示，一共有两个零点，其中一个是正的零点，记为，即；如果要求用代数去证明的话，那工作量很大，也有一定的难度，限于

6、篇幅，具体请读者去看有关高考解答资料（II）由于数列满足，由两个图象的位置关系，我们可以得到启发：当时，如图，就有，也就是说数列是递增数列但有上界，即取；当时，如图，就有，也就是说数列是递减数列但有下界，上界就是初始的，即取代数证明：当时，由（I）得，得，又由是递增函数可知；结合也是递增函数就可由得；纵上就有同理，当时，就有 所以，当时，就有；当时，就有；当时，就有所以，存在常数，使得对于任意的，都有成立评注：解了此题，你是否有“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”的感叹！三、多个函数，辨析位置，挖掘隐含 有些函数综合试题，我们可以不画出图像，你也能解决它，正如下面高考试题的标准答案，但这种解决方

7、法实在是繁琐，老师、学生都很难看懂；当综合试题中含有两个函数时，一般情况至少一个是动态函数，那画出它们之间的位置关系，会使一些隐性条件清晰起来，去掉不必要的讨论与辨别，快马加鞭直达主题例3(2012年薪课标全国卷理21题)已知函数（I）求的解析式及单调区间；（II）若，求的最大值分析：（I）略解：，将代入得，将代入得，即；它的单调递减区间为，单调递增区间为（II）若恒成立，即恒成立；记、；结合的单调性，由对于恒成立可得；欲求的最大值，则须有；这样，与的图像关系只能是图10那样当正数确定时，的最大值情形就是直线与曲线相切时；可以求出切点坐标为，即的最大值为从而，其中，下面只要求上式的右边最大值，

8、即函数的最大值就可以了在处达到最大值，最大值为评注：这里由图就可以使“”、“ ”、“ 的最大值情形就是直线与曲线相切时”等条件清晰出来，使解题快速又正确今年6月底，笔者曾用该题编在一份试卷上（做压轴题），对学生进行过考试检测，根据答题结果统计，发现使用图像（结果基本上正确）的有18位，不使用图像也在分析推理（基本上没有结果）的有9位，还有16位就是什么也不会做的（大概没有时间）此实例说明想到用图像与不用图像会使结果大不相同四、常规函数，穷现情形，不重不漏动态函数由于参数的不同，图像的形状会不同，或形状可能相同但某些位置关系、性质会不同，用代数解决即抽象又很难想到，也很难完美落实如果根据参编量的

9、变化，采用连续的多个图像，来穷现所有情况，把要解决的问题搞清楚，也是一种务实而有效的方法例4（2009年浙江理）已知函数，其中（I） 设函数若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由分析：因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根；则图象与轴的交点有下列的5种情况（如图11的5个小图所示）：图（1）的充要条件是即；图（2）与图（3）合并的结论是，即；图（4）的充要条件是，即；图（5）的充要条件是，即不存在所以，（II）实际上，由于是二次函数且对称轴为，是一次函数且 ，由题意，有以下三种情况图象（如图12中的三个图），每一个图象的轴的左边是的示意图，轴的右边的直线是的示意图而曲线是左边的图象的延伸图A表明且，但不合题意，也无解；图B表明且，符合题意但无解；图C表明且，符合题意，得所以，满足题意评注：上面的方法走的路虽