江苏省南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷

1、南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1、若，且为纯虚数，则实数 解析：为纯虚数，故得2、设集合，则 （2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若分数段的人数为人，则分数段的人数为 分数解析：根据直方图，组距为，在内的，所以频率为，因为此区间上的频数为，所以这次抽考的总人数为因为内的，所以频率为，设该区间的人数为，则由，得，即分数段的人数为 4、已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，则常数的值为_15、已知一颗骰子的两面刻有数字

2、1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为_ 6、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_ 7、圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 .8、若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 .或9、若实数、满足，则的最大值是 410、若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成两段，则此椭圆的离心率为 解析：根据题意，可得，解得11.已知变量，则的最小值为 .912、当时，恒成立，则实数的取值为 13如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，

3、在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，则的取值范围为_ 14已知定义在上的函数和满足，令，则使数列的前项和超过15/16的最小自然数的值为5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力求解本题，关键在于根据题设条件求出的值，从而得到数列的通项公式解析：，且，从而有，又，知为减函数，于是得，由于，故得使数列的前项和超过的最小自然数二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）已

4、知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角、的对边分别为，且，若，求，的值15. 解：（1），3分则的最小值是2， 5分最小正周期是； 7分（2），则， ， 10分，由正弦定理，得， 11分由余弦定理，得，即， 由解得 14分16（本小题满分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，E、F分别是的中点（1）证明：平面平面；（2）证明：平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积ABCEFP16.（1）证明：在，AC=2BC=4, ， 由已知， 又 5分（2）证明：取AC的中点M，连结在,而，直线FM/平面ABE在矩形中，E、M都是中点， 而，直线又 故 10分（或

5、解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）（3）取的中点，连结，则且，由（1）， P是BE的中点， 14分17、（本小题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润

6、？解：（1）当时，当时，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为： - 6（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，当且仅当时取等号所以当时，此时 当时，由知函数在上递增，此时综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 -1418（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点 若，求圆的方程；若是l上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程18. 解：（1）由题设：，椭圆的方程为： 4分（2）由（1）知：，设，则圆的方程：

7、， 6分直线的方程：， 8分， 10分，圆的方程：或 12分解法（一）：设， 由知：，即：， 14分 消去得：=2 点在定圆=2上 16分 解法（二）：设， 则直线FP的斜率为，FPOM，直线OM的斜率为， 直线OM的方程为：，点M的坐标为 14 分 MPOP，, =2,点在定圆=2上 16 分19（本小题满分16分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前 项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由 19.解：（1）（法

8、一）在中，令，得 即 2分解得，又时，满足， 3分， 5分（法二）是等差数列， 2分由，得 ， 又，则 3分(求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 6分 ，等号在时取得 此时 需满足 7分当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 8分 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 9分综合、可得的取值范围是 10分（3）， 若成等比数列，则，即 12分由，可得，即， 14分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列16分另解：因为，故，即，（以下同上） 14分20(本小题满分16分) 已知函数.( I )若, 求+在2，3上的最小值；( II)若时, , 求的取值范围；(III)求函数在1，6上的最小值. 解:(1)因为,且2，3,所以,当且仅当x=2时取等号,所以在2，3上的最小值为(2)由题意知,当时,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.当,即时,易知在1，6上的最小值为当a<1时,可知2a1<