求函数值域的几种常见方法详解

1、求函数值域的几种常见方法1直接法：利用常见函数的值域来求。一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.例1求下列函数的值域 y=3x+2 (-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yÎR且y¹1（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）2二次函数在给定区间上的值域(最值)。例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：； ； ；解：抛物线的开口向上，对称轴，

2、函数的定义域R，x=2时，ymin=-3 ,函数的值域是y|y-3 .抛物线的开口向上，对称轴 3,4，此时在3,4 当x=3时，=-2 当x=4时，=1 值域为-2，1.抛物线的开口向上，对称轴 0,1，此时在0,1 当x=0时，=1 当x =1时，=-2值域为-2，1.抛物线的开口向上，对称轴 0,5，当x=2时，=-3 当 x=5时，=6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，=6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）值域为-3，6.注：对于二次函数,若定义域为R时，当a>0时，则当时，其最小值；当a<0时

3、，则当时，其最大值.若定义域为x a,b,则应首先判定其对称轴是否属于区间a,b.若a,b,则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3求函数y=值域解：原式可化为,整理得，若y=1,即2x=0,则x=0

4、；若y1,由题0，即,解得且 y1.综上：值域y|.例4求函数的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为 (x¹2且 x¹-3) 由此可得 y¹1 x=2时 函数的值域为 y| y¹1且 y¹说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4换元法例5求函数的值域解：设 则 t0 x=1-代入得 开口向下，对称轴时， 值域为5分段函数例6求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.练习：1、答案：值域是.2、求函数的值域； 答案：值域是（