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1、概率论与数理统计习题第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品进行检验,如发现其中的次品数多于1个,就去调整设备,以表示一天中调整设备的次数,试求(设诸产品是否为次品是相互独立的).解:设表示一次抽检的10件产品的次品数为P=P(调整设备)=P (>1)=1P (1)= 1P (=0)+ P (=1)10.7361=0.2639.因此X表示一天调整设备的次数时XB(4, 0.2639). P (X=0)=×0.26390×0.73614 =0.2936.P (X=1)=×0.26391×
2、0.73613=0.4210, P (X=2)= ×0.26392×0.73612=0.2264.P (X=3)=×0.26393×0.7361=0.0541, P (X=4)= ×0.2639×0.73610=0.0049.从而E (X)=np=4×0.2639=1.0556习题4-2 设随机变量的分布律为,说明的数学期望不存在.解: 由于,而级数发散,故级数不绝对收敛,由数学期望的定义知,的数学期望不存在.习题4-3 设随机变量的分布律为-2020.40.30.3求.解 E(X)=(-2)´0.4+0´
3、;0.3+2´0.3=-0.2由关于随机变量函数的数学期望的定理,知E(X2)=(-2)2´0.4+02´0.3+22´0.3=2.8E(3X2+5)=3´ (-2)2+5´0.4+3´ 02+5´0.3+3´22+5´0.3=13.4如利用数学期望的性质,则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=3´2.8+5=13.4习题4-4 设随机变量的概率密度为求的数学期望.解习题4-5 设的概率密度为求.解 各数学期望均可按照计算。因仅在有限区域内不为零,故各数学期望均化为G上相应积分的计算。习题4-6 将只球号随机地放进只盒子中去,一只盒子装一只球,若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记为总的配对数,求.解: 表示所有配对的个数 习题4-7 设随机变量服从瑞利分布,其概率密度为其中是常数,求.解 故 习题4-8 设二维随机变量的概率密度为试验证:和是不相关的,但和不是相互独立的.设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性,当|x|1时, 当|y|1时,.显然故X和Y不是相互独立的.习题4-9 设随机变量具有概率密度求.解 因仅在有限区域内不为零,故有 由x,y在f(x,y)的表达式中的对称性(即在表达式f(x,y)中将x和y互换,表达式不变)
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