浅谈矩阵乘法

1、20112012学年冬季学期课程论文课程名称： 线性代数与几何（1） 课程编号： 论文题目: 浅谈矩阵乘法 作者姓名: 学 号: 成 绩: 论文评语:评阅人: 评阅日期: 浅谈矩阵乘法【摘要】本文通过对矩阵乘法的解读，对一般矩阵乘法，Hadamard 乘积，Kronecker 乘积，三种矩阵的乘法进行较为详细的介绍，主要是用来增强对矩阵乘法的理解，从而对线性代数这门课程有更深入的了解。【关键字】矩阵乘法 Hadamard乘积 Kronecker乘积一·引言 矩阵作为一个全新的概念，我们经常拿它与实数，向量等较为熟悉的概念进行类比，故而在探讨矩阵的运算的时候也不例外。但是，虽然矩阵的加

2、法，减法的法则符合我们的习惯，即与我们之前学习过的加减法较为相近，但是，在所有的矩阵运算中，矩阵乘法的法则却是最不符合我们的习惯的，掌握的难度也最大，但它却也是最重要的。 在本文中，我们将依次对一般矩阵乘法，Hadamard乘积，Kronecker乘积三种较为常见的矩阵乘法进行介绍，包括定义，运算性质，应用，推广等多个方面。二·一般矩阵乘法1·定义对任意正整数任意的数域，任意的矩阵和可以相乘，得到的乘积是一个矩阵它的第元对于矩阵的乘法需要注意如下事项：（1） 并非任意两个矩阵都可以相乘。可以相乘的条件也与它们可以相加减的条件不同。可以相乘的条件是：的列数与的行数相等。(2）

3、的乘法法则可以这样来理解：n维的行向量与n维列向量的乘积是一个数，等于与的相应位置的元之积之和：任意矩阵与矩阵相乘，将的第行与的第列相乘得到的数作为第元，得到的矩阵就是的乘积。例1：设解：注意：（1）AB可以由B的两行分别乘得到，BA可以由B的两列分别乘得到。（2）如果，并且或者，那么（3）如果，则都可以由所有的元乘同一个数得到，也就是说：，用去乘矩阵相当于用数乘。2·性质结合律： 对任意成立。证明：设则，其中 从而 其中 （1）另一方面，其中 从而 其中 （2）比较（1）和（2）可知 G=H，即 矩阵乘法结合律成立与数乘的结合律：对任意使运算有意义的矩阵及任意数成立。乘法对于加法的

4、分配律：对任意使运算有意义的成立。3·矩阵乘法的来源和意义线性方程组的简洁表示对线性方程组若令， 则此方程组借助矩阵乘法便可记为：如果矩阵A 是可逆的，则有: ，这与普通的一元一次方程ax = b，无论在形式上，或解法上都得以统一。此外，在解析几何中，平面上的二次曲线和空间中的二次曲面，其方程的化简和分类，皆可借助矩阵的乘法得以简捷又统一的处理。 接连变换的关系在平面解析几何中，常用到坐标旋转，设X 轴绕原点旋转A(如图)，则新旧坐标的关系是: 即 再将x'轴旋转角, 则又有即连接两次旋转的结果, 用矩阵的表示代换, 则得= 即 这正与用原坐标变换式代换的结果是一致的，而用矩

5、阵乘法表出，不但简便，而且适用面也广。消元过程运算化在解线性方程组时, 我们常用的三个同解变换(1)交换两个方程;(2)用一个不为0 的常数乘方程的两端;(3)将一方程乘以常量加在另一个方程上。利用矩阵的乘法，它们皆可用矩阵的等式表之，既简明，又利于对这些变换作深入的研究。4·矩阵乘法的应用其实矩阵乘法有很多应用，但是我们曾已经接触过的一些应用就不再赘述。来提一下一个比较有意思的应用。即用矩阵乘法预测人口。美国人口统计学家内森凯菲茨首先提出用矩阵乘法预测人口。这种方法概括说来就是把现有的分年龄分性别人口数处理成列矩阵K，分年龄分性别的存活率与修改后的生育率构成方阵M，M·K

6、的乘积所产生的列矩阵,就是按预测初始年人口 年龄分组的组距所确定的第一个预测周期末的人口。如果假定婴儿出生性比重,分年龄分性别人口存活率和妇女分年龄生育率在整个预测期内（若干预测周期）不发生变化，那么M的各次幂乘以K就得到各相继预测周期末的分年龄分性别人 口数。 式中代表第t预测周期末的人口数列矩阵;t=1,2,.n;M代表分年龄分性别人口存活率和修改后的生育率构成的方阵；K代表预测初始年分年龄分性别人口数列矩阵。三·Hadamard乘积1·定义设，定义，使得2·性质性质1 ； ； A，B为对称矩阵，则也为对称矩阵性质2 性质1的几个结论由定义显然可得。为证性质2

7、先有下面两个引理引理1若A 为数域F 上的m×n 阶矩阵, 则秩A = r，其中为线性无关的列向量，为线性无关的行向量。引理 2 设为m 维列向量, x , y 为n 维行向量, 则性质2的证明：设秩A = r1, 秩B = r2, 由引理1其中是两组线性无关的列向量组，是两组线性无关的行向量组。由性质1和引理2可得 =为列向量, 为行向量, 所以秩（()（）1,故得证。四·Kronecker乘积1·定义设 定义2·性质性质1 设矩阵A, B, C, D 使得AC 与BD有定义,则由定义和性质1可得以下推论推论2 设都为非奇异矩阵，则也是非奇异矩阵，并且

8、推论3 设都为上三角(下三角)矩阵，则也是上三角(下三角)矩阵, 且它的主对角元素依次为性质 4 若A , B 都为幂零阵(幂等阵, 对合阵) ,则也为幂零阵(幂等阵,对合阵) .性质 5 若rank（A） = s, rank（B）= t ,则rank () = st五·三者联系例：六·结语 虽然在这篇文章中只介绍了一般矩阵乘法，Hadamard乘积，Kronecker乘积三种，但实际上我们可以自己对矩阵的乘法进行定义。不同的定义在不同情况下有可能就会产生意想不到的效果。而矩阵的乘法作为线性代数这么课程的基础，我们对乘法的深刻理解是至关重要的。参考资料李尚志 线性代数 北京：高等教育出版社 2006.5王萼芳 石生明 高