江苏省常州市部分四星级高中高二下期中数学试卷文科

1、2014-2015学年江苏省常州市部分四星级高中高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1（5分）（2015春常州期中）计算i+i2+i2015的值为1考点： 虚数单位i及其性质专题： 数系的扩充和复数分析： 由于i2015=（i4）503i3=i再利用等比数列当前n项和公式即可得出解答： 解：i2015=（i4）503i3=ii+i2+i2015=1故答案为：1点评： 本题考查了复数的运算法则、周期性、等比数列当前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题2（5分）（2015春常州期中）复数在复平面内对应的点的坐标是（0，

2、1）考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题： 计算题分析： 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标解答： 解：=，复数在复平面上对应的点的坐标是（0，1）故答案为（0，1）点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标3（5分）（2015春常州期中）设复数z满足：i（z+1）=3+2i，则z的虚部是3考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 化简已知复

3、数，由复数的基本概念可得虚部解答： 解：复数z满足：i（z+1）=3+2i，z=1=1=1=23i1=13i，复数的虚部为：3，故答案为：3点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题4（5分）（2015春常州期中）设全集U=1，3，5，7，9，A=1，|a5|，9，UA=5，7，则a的值为2或8考点： 集合关系中的参数取值问题专题： 常规题型分析： 根据题意，结合补集的性质，可得两相等集合，即得|a5|=3，解出a即可解答： 解：由于全集U=1，3，5，7，9，CUA=5，7，依据补集的性质CU（CUA）=A则有1，3，9=1，|a5|，9，即|a5|=3，解得：a

4、=2或8故答案为：2或8点评： 本题考查了集合的交、补运算和集合相等，属于基础题5（5分）（2015春常州期中）命题“xR，x2x+10”的否定是考点： 命题的否定专题： 计算题分析： 根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在；解答： 解：命题“xR，x2x+10”“任意”的否定为“存在”命题的否定为：，故答案为：点评： 此题主要考查命题的否定规则，是一道基础题，注意常见的否定词；6（5分）（2015春常州期中）设x是纯虚数，y是实数，且2x1+i=y（3y）i，则|x+y|=考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 设x=ai（aR，且a0）代入2x1+

5、i=y（3y）i，可得2ai1+i=y（3y）i，利用复数相等、模的计算公式即可得出解答： 解：设x=ai（aR，且a0）2x1+i=y（3y）i，2ai1+i=y（3y）i，1=y，2a+1=（3y），解得y=1，a=x+yi=i=则|x+y|=故答案为：点评： 本题考查了复数相等、模的计算公式，属于基础题7（5分）（2015春常州期中）已知关于实数x的两个命题：p：0，q：x+a0，且命题p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a1考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 根据不等式的解法求出p，q的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答： 解：p：0（x+1）

6、（x2）0，解得x1，或x2，q：x+a0，解得xa，命题p是q的必要不充分条件，a1，即a1故答案为：a1点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键8（5分）（2015春常州期中）若函数为奇函数，则a=考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性的定义建立条件关系即可得到结论解答： 解：函数为奇函数，f（x）=f（x）即=，即（3x1）（x+a）=（3x+1）（xa）则3x2+（3a1）xa=3x2+（13a）xa，则3a1=13a，即3a1=0，解得a=；故答案为：；点评： 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用

7、，根据条件建立方程关系是解决本题的关键9（5分）（2015春常州期中）将正奇数按如图所示的规律排列：则第n（n4）行从左向右的第3个数为n2n+5考点： 归纳推理专题： 推理和证明分析： 由三角形数阵，知第n行的前面共有1+2+3+（n1）个连续奇数，第n行从左向右的第3个数应为2+31解答： 解：观察三角形数阵，知第n行（n3）前共有1+2+3+（n1）=个连续奇数，第n行（n3）从左向右的第3个数为2+31=n2n+5；故答案为：n2n+5点评： 本题从观察数阵的排列规律，考查了数列的求和应用问题；解题时，关键是发现规律并应用所学知识，来解答问题10（5分）（2015春常州期中）二维空间中

8、，正方形的一维测度（周长）l=4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S=a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S=6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V=a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V=4a3，则其四维测度W=考点： 类比推理专题： 推理和证明分析： 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W=V，从而求出所求解答： 解：二维空间中，正方形的一维测度（周长）l=4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S=a2；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S=6a2（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V=

9、a3；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V=4a3，则其四维测度W=，故答案为：点评： 本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题11（5分）（2015春常州期中）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（，0）上是减函数，则使f（lnx）f（1）的x的取值范围为（，e）考点： 函数单调性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 函数f（x）是R上的偶函数，且在（，0上是减函数，可得函数f（x）在0，+）上是增函数，由f（lnx）f（1），即f（|lnx|）f（1），利用单调性即可得出解

10、答： 解：函数f（x）是R上的偶函数，且在（，0上是减函数，函数f（x）在0，+）上是增函数，f（lnx）f（1），即f（|lnx|）f（1），|lnx|1，1lnx1，解得：xe实数a的取值范围是（，e），故答案为：点评： 本题考查了函数的奇偶性、单调性，得到f（|lnx|）f（1）是解题的关键，属于中档题12（5分）（2015春常州期中）直线y=t与函数f（x）=的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度的最小值为考点： 指数函数的图像与性质专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 由题意得到A（t2，t），B（lnt，t），其中t2lnt，且t0，表示|AB|，构造函数，确定函数的

11、单调性，即可求出|AB|的最小值解答： 解：直线y=t与函数f（x）=的图象分别交于A，B两点，A（t2，t），B（lnt，t），其中t2lnt，且t0，|AB|=t2lnt设函数f（t）=t2lnt，f（t）=t，t0，令f（t）=0，解得t=1，当f（t）0，即t1时，函数在（1，+）单调递增，当f（t）0，即0t1时，函数在（0，1）单调递减，故t=1时，函数有最小值，最小值为f（1）=，故线段AB的长度的最小值为故答案为：点评： 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13（5分）（2015春常州期中）如果函数y=a2x+2ax1（a0，a1）在区间

12、1，1上的最大值是14，则实数a的值为3或考点： 指数型复合函数的性质及应用专题： 函数的性质及应用分析： 令t=ax，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可解答： 解：设t=ax，则函数等价为y=f（t）=t2+2t1=（t+1）22，对称轴为t=1，若a1，则0ta，此时函数的最大值为f（a）=（a+1）22=14，即（a+1）2=16，即a+1=4或a+1=4，即a=3或a=5（舍），若0a1，则0at，此时函数的最大值为f（）=（+1）22=14，即（+1）2=16，即+1=4或+1=4，即=3或=5（舍），解得a=，综上3或；故答案为：3或；点评： 本题主要考查指数函数的性质和

13、应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键14（5分）（2015春常州期中）已知函数y=f（x）是定义域为R偶函数，当x0时，f（x）=，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的集合为，2考点： 分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的表达式，利用数形结合进行求解即可解答： 解：函数y=f（x）是定义域为R偶函数，若2x0，则0x2，则f（x）=f（x），即当2x0，f（x）=，若x2，则x2，则f（x）=f（x），即当x2，f（x）=，作出函数f（x）的图象如图：当x=0时，f（x）=0，当x=2时，f（2）=2，由=得

14、x2=3，x=±，由=得x=3，由=得x=3，若函数的值域为，则t0t+2即2t0，当t=时，f（t）=，此时t+2=2，02，满足函数的值域为，若t+2=时，即f（t+2）=，此时t=2，20，满足函数的值域为，综上t=或2，故答案为：，2点评： 本题主要考查分段函数的应用，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）（2015春常州期中）已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+

15、4（m2）x+1=0无实根命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可解答： 解：若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得m2即命题p：m2，（4分）若方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，则=16（m2）216=16（m24m+3）0解得：1m3即命题q：1m3（8分）由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真（10分）或，解得：m3或1m2（14分）点评： 本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，

16、q的等价条件是解决本题的关键16（14分）（2015春常州期中）已知z是复数，均为实数，（1）求复数z（2）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： （1）设z=x+yi（x，yR），利用复数的运算法则、复数相等即可得出；（2）利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答： 解：（1）设z=x+yi（x，yR），则z（1+2i）=（x+yi）（1+2i）=x2y+（2x+y）iR，则2x+y=0，则x+2y+2=0，由解得：，（2），在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：，解得：实数a的取值范围是点评： 本题

17、考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了计算能力，属于中档题17（14分）（2015春常州期中）已知集合A=，C=xR|x2+bx+c0（1）求AB；（2）若（AB）C为空集，（AB）C=R，求b，c的值考点： 交集及其运算；并集及其运算专题： 集合分析： （1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的并集即可；（2）由题意得到x2+bx+c=0必有两个不等实根，记为x1，x2（x1x2），表示出C，根据题意确定出x1，x2的值，即可求出b与c的值解答： 解：（1）A=（2，1），B=24，3），211，AB=（2，3）；（2）由题意知，方程x2+bx+c=0必

18、有两个不等实根，记为x1，x2（x1x2），C=（，x1x2，+），由（AB）C为空集，得到x12，x23，由（AB）C=R，得到x12，x23，x1=2，x2=3，解得：b=1，c=6点评： 此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18（16分）（2015春常州期中）将一个长宽分别为2米和2k米（0k1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0xk），（1）若，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 计算题；应用题；

19、函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）化简V=4（1x）（kx）x=4x3（1+k）x2+kx，x（0，k），从而求导，；从而确定函数的最大值即可；（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，从而可得，从而可得，从而解得解答： 解：（1）V=4（1x）（kx）x=4x3（1+k）x2+kx，x（0，k），；解得（舍去），；故函数V在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减；故这个长方体盒子的容积的最大时的x的值为（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，则，l有最小值，解得故k的范围为（，1）点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题19（16分）（2015春常州期中

20、）已知函数f（x）=x2+|xa|+1，xR，（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）当时，求函数f（x）的最小值考点： 分段函数的应用；函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的判断专题： 分类讨论；函数的性质及应用分析： （1）求出a=0时，f（x）的解析式，由偶函数的定义，即可判断；（2）去绝对值，结合二次函数的对称轴和单调性，可得单调区间；（3）去绝对值，讨论a的范围，求得单调区间，即可得到最小值解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，定义域为R，f（x）=（x）2+|x|+1=x2+|x|+1=f（x），则f（x）为偶函数；

21、（2）当a=时，f（x）=，当x时，f（x）=（x+）2+递增；当x时，f（x）=（x）2+，递减则f（x）的单调减区间为，增区间为；（3）f（x）=，（）当时，f（x）在上递减，在上递增，；（）当时，f（x）在（，a）上递减，在（a，+）上递增，点评： 本题考查含绝对值函数的奇偶性和单调性及最值求法，注意去绝对值化为二次函数解决，运用分类讨论的思想方法是解题的关键20（16分）（2015春常州期中）已知函数，g（x）=ax（1）若直线y=g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题： 综合题；导数的概念及应用分析： （1）求导数，利用直线y=g（x）是函数的图象的一条切线，求实数a的值；（