材料力学笔记(第九章)

1、材料力学（土）笔记第九章 压杆稳定1压杆稳定性的概念当轴向压缩杆件横截面上的正应力不超过材料的许用应力时，强度上保证了杆件的正常工作而在实际结构中，受压杆件的横截面尺寸一般都较按强度条件算出为大，且其横截面的形状往往与梁的横截面形状相仿，提高压杆的承载能力，需提高压杆额弯曲刚度压杆是否变弯，与杆横截面的弯曲刚度有关压杆在轴向压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形对压杆的承载力进行研究时，通常将压杆抽象为由均质材料制成、轴线为直线，且轴向压力作用线与压杆轴线重合的理想“中心受压直杆”的模型在这一力学模型中，由于不存在使压杆产生弯曲变形的初始因素因此，在轴向压力下就不可能发生弯曲现象

2、在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后假想地在杆上施加一微小横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力实验表明，当轴向力不大时，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态则压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡当轴向力增大到一定的界限值时，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲平衡状态，而不再恢复其原有的直线平衡形态，则压杆原来在直线形态下的平衡时不稳定平衡中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，称为临界压力，或简称临界力，并用表示中心受压直杆在临界力的作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳定性，简称为失稳通常说压杆的稳定性及其在临界力作用下的失稳，是就中心受

3、压直杆的力学模型而言的对于实际的压杆，由于存在前述几种导致压杆受压时弯曲的因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型，其平衡稳定性问题是在偏心压力作用下，杆的弯曲变形是否会出现急剧增大而丧失正常的承载能力，其失稳的概念与中心受压直杆的力学模型截然不同2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆在临界力作用下，处于不稳定平衡的直线状态其材料仍处于理想的线弹性范围内，这类稳定问题成为线弹性稳定问题以两端球形铰支，长度为的等截面细长中心受压直杆为例中心受压直杆在临界力作用下将在微弯形态下维持平衡，此时压杆任一截面上的弯矩为压力取为正值，挠度以沿轴正值方向者为正将弯矩方程代入公式，可得挠曲线的近似

4、微分方程其中为压杆横截面的最小形心主惯性矩将上式均除以，并令则式子可以改写为二阶常系数线性微分方程其通解为式中，、和三个待定常数由挠度曲线的边界条件确定由，的边界条件，可得由，（为挠曲线中点的挠度）的边界条件，可得最后又常数、及，的边界条件，得上式仅在或时才能成立显然，若，则压杆的轴线并非微弯的挠曲线，欲使压杆在微弯形态下维持平衡，必须即得 其最小解为时的解，于是解得上式即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式，通常称为欧拉公式在的情况下，故由常数、可知，挠曲线方程为即挠曲线为半波正弦曲线上述求解过程中，挠曲线中点得挠度是个无法确定的值即不论为任何微小值，上述平衡条件都能成立事实上这种

5、随遇平衡状态不成立，之所以无法确定是因为推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过类似方法来推导各种支撑约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式，、为挠曲线的拐点支端情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动临界力欧拉公式长度因数由表可以看出，中心受压直杆的临界力受到杆端约束情况的影响杆端越是约强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也就越高对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成同一的形式式中，因数称为压杆的长度因数，与杆端的约束情

6、况有关称为原压杆的相当长度其物理意义可从表中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点渐的一段看作两端铰支压杆利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式得到原支承条件下压杆的临界力这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度即相当长度为各支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度细长压杆临界力的欧拉公式中，是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩若杆端在各个方向的约束情况相同，则应取最小的形心主惯性矩若杆端在不同的方向的约束情况不同，则应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩4欧拉公式的应用范围·

7、临界应力总图假设材料处于线弹性范围内即压杆在临界力作用下的应力不得超过材料的比例极限压杆临界力的欧拉公式有其一定的应用范围4.1 欧拉公式的应用范围当压杆受临界力作用而在直线平衡形态下维持不稳定平衡时横截面上的压应力可按公式计算于是，各种支承情况下压杆的横截面上的应力为称为临界应力；为压杆横截面对中性轴的惯性半径，为压杆的相当长度两者的比值为一量纲为一的参数，称为压杆的长细比或柔度，记为其值越大，相应的就越小，即压杆越容易失稳则临界力的式子可改写为欧拉公式仅适用于的范围内则欧拉公式的应用范围可表示为或写作式中，为能应用欧拉公式的压杆柔度的界限值通常称的压杆为大柔度压杆，或细长压杆当压杆的柔度时

8、，不能应用欧拉公式，通常称其为小柔度压杆这一界限值的大小取决于压杆材料的力学性能将压杆临界应力与压杆柔度间的关系式用曲线表示称为欧拉临界应力曲线，实线部分是适用范围内的曲线，虚线部分无意义4.2 折减弹性模量理论4.3 压杆的临界应力总图中心受压直杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关对于大柔度杆，临界应力可按欧拉公式计算对于小柔度杆，临界力的计算有很多，折减弹性模量理论仅是其中之一在不同范围内，压杆的临界应力与柔度间的关系图线称为压杆的临界应力总图5实际压杆的稳定因数实际压杆可能存在引起截面上的残余应力等的不利因素，将降低压杆的临界应力压杆的临界应力总是随压杆的柔度而改变柔度越大，临界应力值越低

9、设计压杆时所用的许用应力也随压杆的柔度的增大而减小在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力写作材料的强度许用应力乘以一个随压杆柔度而改变的稳定因数，即，以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这一特点在稳定因数中，也考虑了压杆的稳定安全因数随压杆柔度而改变的因素6压杆的稳定计算·压杆的合理截面压杆的稳定条件可表达为，通常改写为式中，为压杆承受的轴向压力；为压杆的稳定因数；为压杆的横截面面积稳定计算中不必考虑截面局部削弱的影响，以毛面积进行计算在强度计算中，应按局部局部被削弱的净面积进行计算，为压杆材料的许用应力在稳定计算中，若已知压杆的材料、杆长和杆端约束条件，而需选择压杆的截面尺寸时由于压杆的稳定因数（或柔度）受截面形状和大小的影响，通常采用试算法压杆的合理截面，由于压杆的稳定性与其柔度有关，柔度与截面的最小惯性半径成反比对于各个方向的杆