曲面与空间曲线的方程

1、第2章 曲面与空间曲线的方程2.1 曲面的方程1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则亦即经同解变形得：上式即为所要求

2、的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，则亦即两边平方且整理后，得： （1）从而（1）为即：由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，则类似于（2），上式经同解变形为：其中 （*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。设动点，所求的轨迹为，则将上述方程经同解化简为： （*）（*）即为所要求的轨迹方程。2、 求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与

3、解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：（2）由已知，球面半径所以类似上题，得球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 （1）解（1）有所求的球面方程为2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1） 解：各题的图形如下：（1）2.3空间曲线的方程1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足从而：（）当时，公共点的轨迹为： 及 即为两条平行轴的直线；（）当时，公共点的轨迹为： 即为轴；（）当时，公共点的轨迹为： 即过且平行于轴的直线；（）当或时，两图形无公共点。2、指出

4、下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）曲面与面的交线为：此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。同理可求出曲面与面及面的交线分别为：， 它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；（2）由面与面，面，面的交线分别为：,亦即：,即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。（3）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。（4）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解：（1）从方程组分别消去变量，得：亦即： （） （） （）（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程。（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程。（3） 原曲线对平面的射影柱面