曲线积分与曲面积分练习题

1、第十章 曲线积分与曲面积分10.1 对弧长曲线的积分一、 判断题1若f(x)在（-）内连续，则也是对弧长的曲线积分。 （ ）2设曲线L的方程为x=在上连续可导则 （ ）二、 填空题1.将，其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(化为定积分的结果是 。 2.= ，其中L为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。三、 选择题1=（ ），其中L为圆周（A） （B） （C） （D）2=（ ），L为抛物线上的弧段。（A） （B） （C） （D）四、 计算，其中C为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。五、 计算，其中L为六、 计算，L为上半圆周： 七、 计

2、算，其中L为圆周，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。八、 求半径为a，中心角为的均匀圆弧（=1）的重心。10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1定积分也是对坐标的曲线积分。 （ ）2，其中L为圆周按逆时针方向转一周。 （ ）二、填空题 1= ，其中是从点A（1，2，3）到点B（0，0，0）的直线段AB。2化为对弧长的曲线积分结果是 其中L为沿从点（0，0）到（1，1）的一段。三、选择题1 设曲线L是由A（a,0） 到O（0，0）的上半圆周，则（ ）（A）0 （B） （C） （D）2 设L为，方向按t增大的方向，则=（ ）（A） （B）（C） （D）四、计算I=，其中O为坐标原点，A

3、的坐标为（1，1）1OA为直线段y=x 2.OA为抛物线段3OA为y=0,x=1构成的折线段。 4.OA为x=0,y=1的折线段。五、计算，L是从A（1，0）沿到B（-1，0）的圆弧。六、计算，L为圆周（a0）取逆时针方向。七、设方向依oy轴负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m的质点沿抛物线，从点A（1，0）移到B（0，1）时力场所做的功。九、 把（L为上从A（-1，-1）到B（1，1）的弧段）化为对弧长的曲线积分。10.3 格林公式及其应用一、 判断题1闭区域D的边界按逆时针即为正向。 （ ）2设P、Q在闭区域D上满足格林公式的条件，L是D的外正向边界曲线，则 （

4、）3对单一积分或不能用格林公式。 （ ）4.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,P(x,y),Q(x,y)上有一阶连续偏导数，则（a） ( )(b) ( )(c) ( )二、 填空题1 设C是圆周的正向，则 2 设f(u)在）上连续可导，沿连接点A（3，）和B（1，2）的直线段AB的曲线积分= 3 设有二元函数u(x,y),已知u(1,1)=0,且du=(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy,则= 且u(x,y)= 4 设是由点（1，1，1）到点（2，3，3）的直线段，则= 三、 选择题1设函数f(x)连续（x0），对x0的任意闭曲线C有且f(1)=2,则f(x)=(

5、 )(A) (B) (C)x3 (D)2.设F(x,y)可微，如果曲线积分与路径无关，则F(x,y)应满足（ ）（A） （B）（C） （D）2.设函数f(x)连续可微且f(0)=-2,曲线积分与路径无关，则f(x)=（ ）（A） （B）（C）-2cosx （D）3.曲线积分在不与X轴相交的区域上与路径无关，则=（ ）（A） （B） （C）任意值 （D）04如果是某一函数u(x,y)的二阶微分，则a、b满足条件u(1,1)=0的u(x,y)为（ ）（A）a=1,b=-1,u(x,y)= (B)a=-1,b=1, u(x,y)=(B)a=-1,b=-1, u(x,y)= (D) a=-1,b=-1

6、, u(x,y)=5.L是圆域D：的正向圆周，则（ ）（A） （B）0 （C） （D）四、 求变力将质点沿椭圆的正向转动一周所做的功。五、 利用格林公式计算。1为正向圆周2L为点A（a,0）到点（0，0）的上半圆周六、 计算，C为正向圆周七、 验证曲线积分与路径无关，并求其值。八、 选取n，使在XOY平面上除去X的负半轴和原点以外的开区域G内的某个函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y).10.4 对面积的曲面积分一、 判断1二重积分也可看成是在平面片D上的第一类曲面积分。 （ ）2设连续曲面片，则的面积为A=，这与用二重积分求面积不一样。 （ ）二、 填空题1 设是圆锥面被圆柱面所截的下部

7、分，则= 2 设是球面：，则曲面积分= 三、 选择题1 设为在XY平面上方的曲面，则=（ ）（A） （B）（C） （D）2 设有一分布非均匀的曲面 ，其面密度为，则曲面对X轴的转动惯量为（ ）（A） （B）（C） （D）3 设为球面，则=（ ）（A） （B） （C） （D）四、 计算下列第一型曲面积分。1，其中为平面在第一卦限的部分。2，为球面上（的部分。3，是柱面 于平面Z=0和Z=h(h0)之间的部分。4，为锥面与平面Z=1所围成的区域的边界曲面。五、 求球面在柱面内部的表面积。六、 求旋转抛物面被平面Z=2所截的部分的质心坐标，假设其上各点的面密度为该点到Z轴的距离的平方。10.5 对坐

8、标的曲面积分一、 判断题1 设为在第一卦限部分，则的面积为A=其中分别为在各坐标面上投影区域。 （ ）2因为，（为x+y+z=1上侧），所以为第一类曲线积分。 3，为的外侧。 （ ）二、 填空题1= ，为柱面被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限内的部分。2设为平面3x+2y+z=6在第一卦限的部分的上侧 ，将化为对面积的曲面积分的结果为 。三、 选择题1 设流速场，则流过球面的流量值=（ ）（A）0 （B） （C） （D）12 设曲面为Z=0，方向向下，D为平面区域：，则=（ ）（A）1 （B） （C）- （D）03 设为Z=0（）的上 ，则=（ ）（A） （B）（D） （D）0四、 计算下

9、列第二型曲面积分。1，是平面x+y+z=2在第一卦限部分的外侧。2,柱面被平面z=1和z=0所截得部分的外侧。3，为锥面 平面z=1和z=2所围成的立体表面的外侧。五、求流速场穿过曲面与平面z=1所围成的立体表面的流量。六、已知f(x,y,z)连续，是平面x+y+z=1在第四卦限部分的外侧， 计算10.6 高斯公式与斯托克斯公式 散度与旋度一、 断题 1设是球面的外侧，为法矢的方向角。V是所围成的立体，则= （ ）2空间立体的体积V=这是为的边界曲面之外侧。 （ ）3梯度和旋度为Z，散度是向量。 （ ）二、填空题1 设空间区域是由曲面与平面z=0围成，其中a为正整数，记的表面外侧为s，的体积为

10、v，则 。2 设则= 。3 设，则= = 。二、 选择题1设f(u)具有连续导数，是曲面与所围成立体表面之外侧，则（ ）=（ ）（A）16 （B）-16 （C）-8 （D）因f(u)未知，故无法确定。2设为球面的外侧，则+（ ）（A）0 （B） （C） （D）3设是球面的外侧，则=（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、 计算，是被z=0所截部分的外侧。五、 计算，其中f(u)具有连续导数，是球面的外侧。六、 算下列曲面积分。1为的下侧。2其中S是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面，它的法向量与y轴的正向的夹角恒大于。3，S为其法向量与轴正向的夹角为锐角。七、 求的散度和旋度。八、利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。1，