法向量练习题

1、【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】1、（满分12分）： 如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，为的中点（1） 求证：平面（2） 求证：平面平面（3） 求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】2.（本题满分12分）如图，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.（1）证明：面PBD面PAC；（2）求锐二面角APCB的余弦值.【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】3（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60

2、°（）求证：BD平面PAC；（）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB=60°，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF。（）求证：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值。【答案】1、 证明:取DE中点G,建系如图，则A(0,0)、B(-1,0, 0)、C(1,0,0)、D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0,2)、G(0,0,2),=(2,0,2),=(1,1).设平面DEF的一法向量=(x,y,z), 则即 ,不妨取x=1，则y=0,z

3、=-1,=(1,0,-1),平面ABC的一法向量=(0,0,1),=(0,0). ·=0,.又OAË平面DEF,OA/平面DEF.显然,平面BCED的一法向量为=(0,1,0),·=0,平面DEF平面BCED由知平面DEF的一法向量=(1,0,-1),平面ABC的一法向量=(0,0,1)， cos<,>= =- 求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为 .【答案】2.（1）因为四边形ABCD是菱形， 所以AC 因为PA平面ABCD， 所有PABD.2分 又因为PAAC=A，所以BD面 PAC.3分而BD面PBD，所以面PBD面PAC.5分（2）如图，设

4、ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ. 在APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为APC的中位线，所以OQ/PA. 因为PA平面ABCD， 所以OQ平面ABCD，6分 以OA、OB、OQ所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系O 则7分因为BO面PAC， 所以平面PAC的一个法向量为8分 设平面PBC的一个法向量为 而 由得 令则 所以为平面PBC的一个法向量.10分 12分【答案】3（I）证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以ACBD又因为PA平面ABCD， 所以PABD，所以BD平面PAC 4分（）设ACBDO 因为BAD60°，PAAB2， 所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1,0,0），C（0，0）所以PB（1，2），AC（0,2，0）设PB与AC所成角为，则cos 8分（）由（）知BC（1，0）设P（0，t） （t 0），则 BP（1，t）设平面PBC的法向量m（x，y，z）， 则BC·m0，BP·m0所以 令y，则x3，z， 所以