汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究

1、实例13 汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究根据汽车理论可知悬架双质量系统微分方程为 (13-1) 对式（13-3）和式（13-4）进行拉氏变换并整理，可得 (13-2)由上式可得和之间的传递函数为 (13-3)另将(13-3)代入(13-2),可得到与路面激励q的传递函数为 (13-4)13.1 车身位移z2与路面激励位移q的传递函数现在可分析车轮与车身双质量系统的传递函数。由式（13-3）（13-4）相乘可以得到车身位移z2与路面激励位移q的传递函数为 （13-5）由于传递函数分母为高阶多项式相乘，计算量比较大，因此可利用MATLAB多项式计算函数求出分母N的系数。具体程序如下：m2=3

2、17.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pretty(nn);a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den);w=0.1:.1:100;>> figure(1)>> h,w1=freqs(a1,den,w);>> fre

3、qs(a1,den,w);运行可得到传递函数表达式以及传递函数的频率响应特性图：Transfer function: 2.88e008 s + 4.224e009-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009 由图（13-1）中的频率响应幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s的频率范围内，有两个明显的共振峰值，由汽车理论可知，这两个共振峰值是由汽车双质量系统两个主频率和决定的。下面进一步具体计算汽车双质量系统两个主频率和。具体程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=2200

4、0;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den);w=0.1:.1:100;h,w1=freqs(a1,den,w);freqs(a1,den,w);title('z2/z0')mag=abs(h);margin(sys);j=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(1)=w(i);

5、elseif(mag(i+1)-mag(i)<0&abs(mag(i)-mag(i-1)<0.0001;j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);>> i1=wm1/f0;>> i2=wm2/f0;>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=%3.3f HZ n',wm1)汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=1.210 HZ >>

6、; fprintf('汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=%3.3f HZ n',wm2)汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=9.390 HZ >> fprintf('汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=2.413 >> fprintf('汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=0.155 >> fprintf('主频率1（低频）w1与车

7、身系统固有频率f0之比i1=%3.3f n',i1)主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.913 >> fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f n',i2)主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.088 由仿真计算结果可以看出，汽车双质量悬架系统主频率（低频）与汽车车身系统固有频率f0比较接近，而汽车双质量悬架系统主频率（高频）与汽车车轮系统固有频率f1比较接近。由上图容易得出系统参数。幅值稳定裕度：Gm=16.9dB。穿越频率：g=65rad/s。相位角稳定裕度：Pm=65.9度。

8、剪切频率：c=11.6rad/s。13.2车身加速度对车轮速度的传递函数车身加速度对车轮速度的传递函数H1(s)为 (13-6)式(13-6)可理解为车身加速度与车轮加速度的传递函数H1(s)是传递函数G(s)与环节(s+0)串联形成，现在利用matlab进行传递函数H1(s)的频率响应分析。具体程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pre

9、tty(nn);a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den)*tf(1,0,0,1);w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);w=0.1:.1:100;figure(1)mag,phase=bode(sys,w);margin(sys);grid onj=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1

10、)>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(j)=w(i);elseif(mag(i+1)-mag(i)<0&abs(mag(i)-mag(i-1)<0.0001;j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0; fprintf('汽车车身系统固有频率f0=%3.3f HZ n',f0)fprintf('汽车车轮系统固有频率ft=%3.

11、3f HZ n',ft)fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=%3.3f n',w1)fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=%3.3f n',w2)fprintf('汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)fprintf('汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f n',i1)fprintf('主频率

12、2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f n',i2)运行程序可以得到下述结果和图13-3：Transfer function: 2.88e008 s2 + 4.224e009 s-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009 汽车车身系统固有频率f0=1.325 HZ 汽车车轮系统固有频率ft=10.927 HZ 汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=1.289 汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=10.027 汽车双质量悬架系统 低频共振峰值 Mag1=9.364

13、 汽车双质量悬架系统 高频共振峰值 Mag2=9.364 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.973 主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.568 图13-3 车身加速度对车轮速度的传递函数相对动载荷，静载荷为.则对q的传递函数为将上式代入式（13-8）可以写为 （13-9）式（13-9）是非常复杂的多项式，可以先利用MATLAB符号计算方法先将传递函数分子分母计算出来后再进行频率响应仿真分析。具体程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=

14、conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);N=N1-N2;pretty(N);w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);num2=m2*kt,c*kt,k*kt;num2=poly2sym(num2);num=collect(num2-N);运行程序可以得到一下结果：num =- (28829*x4)/2 - 544350*x3 - 7983800*x2即传递函数分子的系数矩阵为nu

15、m=-28829/2,-544350,-7983800,0,0.*kt./(m1+m2)./9.8应该注意的是分子系数矩阵的一次项和常数项皆为0。结合第13.1节计算得到的传递函数分母系数，就容易得到Fd/G对q的传递函数H2(s)。具体程序如下：num=-28829/2 -544350 -7983800 0 0.*kt./(m1+m2)./9.8;den=28829/2 544350 68943800 288000000 4224000000;sys=tf(num,den);运算得到以下结果：Transfer function: -7.782e005 s4 - 2.939e007 s3 -

16、4.31e008 s2-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009由此得到了对动载传递函数H2(s)，应用与第13.1节相同的算法，可以很容易地得到传递函数的频率响应及共振频率值等性能指标。具体程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);N=N1-N2;pretty(N)w0=(

17、k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);num2=m2*kt,c*kt,k*kt;Num2=poly2sym(num2);Num=collect(Num2-N)num=-28829/2 -544350 -7983800,0,0*kt/(m1+m2)/9.8den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(num,den)w=0.1:.1:100;figure(1)h,w1=freqs(num,den,w

18、);bode(sys);mag=abs(h);j=0;for i=1:length(w)-1;if(mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(j)=mag(i);wm(j)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0;fprintf('汽车相对动载对车轮速度主频率1(低频)w1=%3.3fHZn',wm1)fprintf('汽车相对动载对车轮速度主频率2

19、(高频)w2=%3.3fHZn',wm2)fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3fn',i1)fprintf('主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3fn',i2)运行程序可得到如下结果及图13-4。汽车相对动载对车轮速度主频率1(低频)w1=1.369HZ汽车相对动载对车轮速度主频率

20、2(高频)w2=11.443HZ汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=14.663 汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=116.700 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=1.033主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=8.63813.3悬架动扰度对q的传递特性仿真悬架动扰度对q的传递函数为将式（13-6）与式（13-7）代入上式，得 （13-10）式（13-10）是一个非常复杂的多项式。与前两节计算方法相同，可以利用MATLAB符号计算方法先将传递函数分子分母系数计算出来后，再进行频率响应仿真分析。具体程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=2

21、2000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pretty(nn)w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);a1=c*kt k*kt;a2=m2*kt c*kt k*kt;A1=poly2sym(a1);A2=poly2sym(a2);Num=collect(A

22、1-A2);运行程序可得到一下结果：Num = (-60960000)*x2即传递函数分子的系数矩阵为num=-60960000,0,0.*kt应该注意的是分子系数矩阵的一次项和常数项皆为0。结合第13.1节计算得到的传递函数分母系数，就容易得到fd对q的传递函数H3(s)。具体程序如下：num=-60960000,0,0.*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(num,den);运行程序可得到如下结果：Transfer function: -1.17e013 s2-1.441e004 s4 + 544350 s3

23、 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009由此得到了对动载传递函数H3(s)，应用与第13.1节相同的算法，可以很容易地得到传递函数的频率响应及共振频率值等性能指标。具体程序如下：w=0.1:.1:100;h,w1=freqs(num,den,w);freqs(num,den,w);mag=abs(h);bode(sys);j=0;for i=1:length(w)-1;if(mag(i+1)-mag(i)<0&&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(j)=mag(i);wm(j)=w(i);enden

24、dwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0;fprintf('汽车车身部分阻尼比 kexi=%3.3f n',kexi)fprintf('汽车车身系统固有频率f0=%3.3f HZn',f0)fprintf('汽车车轮系统固有频率ft=%3.3f HZn',ft)fprintf('汽车悬架挠度对车轮速度主频率1（低频）w1=%3.3f n',wm1)fprintf('汽车悬架挠度对车轮速度主频率2（高频

25、）w2=%3.3f n',wm2)fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3fn',i1)fprintf('主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3fn',i2)运行结果如下：汽车车身部分阻尼比 kexi=0.284 汽车车身系统固有频率f0=1.325 HZ汽车车轮系统固有频率ft=10.927 HZ汽车悬架挠度对车轮速度主频率1（低频）w1=1.353 汽车悬架挠度对车轮速度主频率2（高频）w2=10.059 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=1.021主频率1（高频）w1与车身系统固有频率f0之比i2=7.5