模型ARCH模型GARCH模型经典时序模型

1、国际金价变动的分析黄金是人类最早发现的金属之一，早在旧石器时期晚期，人们就注意到这种“闪闪发光”的东西，并被它吸引。放眼人类历史长河，黄金在人类社会扮演着各种角色，例如，祭祀的祭品、精美的工艺品、财富的象征、终极货币、战争的帮凶、稳定经济的功臣等等。在金融海啸席卷全球之后，黄金的光泽似乎更加的耀眼，每盎司黄金从2007年2月的650每元左右上涨到2009年十一月的1100美元以上，涨幅接近百分之百！回溯200多年的历史，在这期间黄金价格有过三次大涨行情与两次大跌行情，下面对这几次行情进行回顾，一一分析金价变动原因。金价上涨行情第一次金价上涨发生在美国内战期间（1861-1865年），时间是18

2、62年到1864年。1862年，美国国会通过了一个法定货币法案，规定名为“绿背美钞”的纸币可以作为货币流通。绿背美钞与黄金之间并没有法定比价关系，实际上就是放弃金本位制。随着纸币的大量印制，通货膨胀不可避免。在1862年到1864年两年的时间里，金价上涨幅度250300。第二次金价上涨在19701980年。1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在二次世界大战以后，为了援助欧洲各国灾后重建，美国不断地向世界输入美元，欧洲也由战后的“美元荒”过度到了1960年代末的“美元灾”

3、。当1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，也就是进入全面通货膨胀时代，黄金出现暴涨：从35美元/盎司涨到1980年的850美元/盎司。第三次金价上涨则是2003年至今。在网络泡沫与“9.11”之后，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5降到1（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界有70多个国家的通胀率达到两位数。在这期间金价上涨了300%以上。金价下跌行情第

4、一次金价下跌：1864-1879年，由1英镑的黄金需要12美元跌到1英镑黄金值4.86美元。美国国会在1875年通过金元恢复法案。它授权财政部从1879年1月1日起，恢复使用黄金支付所有债务价格为战前的4.86美元兑1英镑黄金。法案提出了减少绿背美钞供应的方案：将绿背美钞的供应量限制在3亿美元以下，要求财政部收回8200万美元的纸币，并授权美国财政部从美国政府债券销售中建立黄金储备。在经济萧条、战后长期通货紧缩以及财政部逐渐收紧货币供应的综合作用下，到1878年底，减少数量后的纸币正好与已经增加的黄金储备大致相等，价格也跌到了战前的水平，绿背美钞的价格自1862年发行以来首次与黄金价格相等。政

5、府收紧货币导致通货紧缩就会使货币升值，使金价下跌。第二次金价下跌，1980-1999年，金价由850美元/盎司跌到252美元/盎司。1979年，反通货膨胀斗士沃尔克出任美联储主席， 沃尔克上任伊始便祭起“打击世界范围的通货膨胀”大旗，与紧密同盟英国一道使美元借贷变得昂贵无比。美元拆借利息平均值从1979年的11.2一下子涨到1981年的20，基本利率更高达21.5，国债收益率冲上17.3。与此同时， 英国首相撒切尔夫人也于1979年5月当选，她发誓“要把通货膨胀从经济中驱除出去”，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12提高到17。在如此短的时间之内把借贷成本猛

6、然提高42，在两位反通胀斗士的不懈努力下，世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到1986年的1.91。黄金价格也开始节节下跌。在此大背景下，欧洲一些央行才认为“黄金无用”，开始出售黄金，压低金价，致使金价出现了19年的下跌走势。本文搜集了1991年11月13日到2009年11月25日每周的国际金价来研究黄金价格的变动（数据来自）。下面是这段时期金价变动的具体分析：1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在第二次世界大战后，为了援助欧洲各国重

7、建，美元被源源不断的输入欧洲，1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，随之而来的是全球性的通货膨胀，从1971年每盎司黄金35美元到1980年每盎司黄金850美元，黄金价格上涨了24倍！1979年沃尔克出任美联储主席，他坚持打击“世界范围内的通货膨胀”，他提高贷款利率，让美元借贷变得昂贵无比。同年5月，撒切尔夫人当选英国首相，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12提高到17。在如此短的时间之内把借贷成本猛然提高42。在他们共同的努力下世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到1986年的1.91。

8、黄金价格也开始节节下跌。在这样的情况下，欧洲一些央行开始认为“黄金无用”，大量抛售黄金，压低金价，此后很长时间里黄金价格呈现下跌走势。直到1994年金价才开始处于平稳，1994年到1996年间，金价没有太大的波动。1997年3月5日，瑞士政府宣布将在未来10年内出售840吨黄金储备。5月份德国银行又传出消息，中央银行要抛售黄金。7月份澳大利亚中央银行宣布，以抛售167吨黄金。7月7日纽约市场金价跌至314.1美元，11月跌破300美元，12月7日创下12年以来的最低点282.35美元每盎司。和平的主流趋势对经济生活中发挥着作用。1999年10月，金价触及两年高点338美元.因欧洲15家央行达成

9、协议,限制出售黄金.黄金市场看涨人气开始增多。2001年9月11日上午，美国纽约和华盛顿等地接连遭受恐怖袭击，位于纽约曼哈顿闹市南边的国际世贸大楼在恐怖袭击中化为废墟。世界对此深感震惊，国际金融市场在极度恐惧中大幅震荡。全球股市大跌，而具有避险功能的黄金备受追捧，市场上出现了抢购黄金的热潮，金价大幅上升。同时，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5降到1（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界有70多个国家的通胀率

10、达到两位数，这也是这次金价上涨的原因。在种种事件共同作用下，从2001年开始国际金价开始了快速上涨。2007年8月开始席卷美国、欧盟和日本等世界主要金融市场，美元受次贷危机危机影响大幅下跌，黄金的避险功能再次突显，金价一个更快得速度上涨。从之前的分析可以看出，金本位的放弃，美元的贬值跟国际金价变动有着极其密切的关系。在美元预期贬值或者已经发生贬值的时候，作为具有避险功能的黄金就会受到欢迎，价格就会上升。当美元币值稳定，世界的通货膨胀不大时，持有美元是安全的，黄金的需求会下降。在经济波动加大的时期，预测金价变动，估计黄金收益率的波动情况，对投资于资产避险等方面都具有重要指导作用。第一部分

11、3;确定性时间序列建模一 趋势项拟合 从图形可以看出金价变动有一定的趋势性，在1996年之前金价变动相对较小，呈线性变动；96年之后金价有了较大的变动，大体近似一个抛物线。对于数据分段拟合趋势项，对于，在1996年2月21日所在周之前的数据用直线拟合，对之后的数据用这样的抛物线去拟合。拟合结果如下：直线部分：曲线部分：拟合结果具体数值见附件。图形如下：用原数据减去趋势项，得到剔除了趋势项后的序列，记为，图形如下：二 “季节”调整 将一年视为有52个周，将各年中同一周列出，求其平均值，视为“季节项”，记为。将剔除了趋势项和季节项的序列记为。对原数据做季节调整，即用原数据减去季节性，结果记为。数据

12、见附件，图形如下：季节项 从图中看出金价在年底会走高，这一结果符合现实情况。剔除趋势项与季节项的序列季节调整后的序列三 确定性模型预测对剔除了趋势项的序列再进行趋势预测，预测出下期的不含季节项的值，然后添加季节项，得到预测值。首先对“季节”调整后的数据再进行趋势预测，仍然像之前对1996年2月21所在周之前的数据用直线拟合，之后的用抛物线拟合，拟合结果如下：直线趋势：抛物线部分：预测结果：预测结果显示2009年11月28日所在周平均进价为1101.653美元/盎司。预测误差第二部分·平稳序列建模ARMA模型对金价数据进行差分，记为dly，dlyt为每盎司黄金价格变动序列。一单位根检验

13、使用不含趋势项、不含均值项的ADF检验对dlyt平稳性进行检验，结果如下：Null Hypothesis: Y has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=21)t-Statistic  Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-20.80200 0.0000Test critical values:1% level-2.5674275% level-1.94116110% level-1.616472*Mac

14、Kinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(Y)Method: Least SquaresDate: 12/09/09 Time: 19:45Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009Included observations: 939 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  Y(-1)-0.8567410.04

15、1186-20.802000.0000D(Y(-1)0.0908020.0327732.7706390.0057R-squared0.394840    Mean dependent var0.032503Adjusted R-squared0.394194    S.D. dependent var14.13205S.E. of regression10.99947    Akaike info criterion7.635699Sum squared resid11336

16、6.1    Schwarz criterion7.646018Log likelihood-3582.961    Hannan-Quinn criter.7.639633Durbin-Watson stat1.982410因为DF=-20.80200>-2.567427，所以拒绝零假设，yt序列是平稳的。可以建立ARMA模型。二模型识别做yt序列的相关图跟偏相关图，以确定模型形式与阶数，图形如下： 从图中看出，可以对yt序列建立ARMA（2，2）模型。三模型估计对dlyt建立ARMA（2，2）模型，结果估

17、计如下：Dependent Variable: D(LOG(Y)Method: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 13:06Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009Included observations: 939 after adjustmentsConvergence achieved after 18 iterationsMA Backcast: 11/20/1991 11/27/1991VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  AR(1)-

18、1.1893280.114099-10.423610.0000AR(2)-0.2877380.103082-2.7913630.0054MA(1)1.4476190.10298014.057290.0000MA(2)0.5342380.0908485.8805730.0000R-squared0.064050    Mean dependent var0.001236Adjusted R-squared0.061047    S.D. dependent var0.018515S.E. of regression0

19、.017941    Akaike info criterion-5.199214Sum squared resid0.300955    Schwarz criterion-5.178576Log likelihood2445.031    Hannan-Quinn criter.-5.191347Durbin-Watson stat1.997129Inverted AR Roots     -.34  

20、       -.85Inverted MA Roots    -.72+.10i下图显示特征方程根的倒数，均在单位圆之内。对模型进行Q检验，结果如下：结果显示：，残差存在序列相关，模型设定不合适。四.模型重新设定及估计经过尝试决定建立不含常数项的如下的AR（5）模型：模型估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 13:27Sample (adjusted): 12/25/1991 1

21、1/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  AR(1)0.2457790.0323807.5903450.0000AR(2)-0.1083270.032410-3.3424400.0009AR(5)-0.1033580.031692-3.2613070.0011R-squared0.067610    M

22、ean dependent var0.001267Adjusted R-squared0.065612    S.D. dependent var0.018531S.E. of regression0.017913    Akaike info criterion-5.203436Sum squared resid0.299360    Schwarz criterion-5.187918Log likelihood2438.208   

23、0;Hannan-Quinn criter.-5.197519Durbin-Watson stat1.989828Inverted AR Roots .54-.39i     .54+.39i  -.13+.63i     -.57下图显示特征方程根的倒数。均在单位圆之内。模型的Q检验：，通过Q检验。五.预测根据之前建立的模型估计原始数据下一周的金价：预测误差：第三部分·波动率模型一ARCH模型的建立对收益率序列之前模型的残差项作图如下：图1图2图1中DL

24、Y为收益率序列的线图，DLYE为AR（5）模型残差项的图，DLYABSE为残差项绝对值序列的图，DLYE2为残差项平方序列的图，残差序列表现出明显的集群现象；图2为残差的直方图，右边给出残差序列的风度为8.892339远大于3，残差序列表现出高峰厚尾。由以上两图可以看出模型存在自回归条件异方差。下面用LM检验考察模型是否存在自回归条件异方差，结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic29.21301    Prob. F(1,934)0.0000Obs*R-squared28.38767 

25、0;  Prob. Chi-Square(1)0.0000Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 14:31Sample: 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  C0.0002783.01E-059.2501050.0000RESID2(-1)0.1404080.0259785.404

26、9060.0000R-squared0.030329    Mean dependent var0.000320Adjusted R-squared0.029291    S.D. dependent var0.000902S.E. of regression0.000889    Akaike info criterion-11.21189Sum squared resid0.000737    Schwarz criterion-1

27、1.20155Log likelihood5249.165    Hannan-Quinn criter.-11.20795F-statistic29.21301    Durbin-Watson stat1.868045Prob(F-statistic)0.000000检验结果表明残差项存在自回归条件异方差，应该建立ARCH模型，经过尝试应该建立ARCH（5），模型估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distri

28、butionDate: 12/13/09 Time: 15:38Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 26 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*RESID(-2)2 + C(7)*RESID(-3)2     &#

29、160;  + C(8)*RESID(-4)2 + C(9)*RESID(-5)2VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.  AR(1)0.2306230.0363956.3365850.0000AR(2)-0.0942090.032845-2.8682890.0041AR(5)-0.1029590.035502-2.9000860.0037Variance EquationC7.65E-057.53E-0610.151800.0000RESID(-1)20.1812650.0339685.3363700

30、.0000RESID(-2)20.0876080.0358562.4433370.0146RESID(-3)20.0780510.0320182.4377310.0148RESID(-4)20.2192130.0407365.3813240.0000RESID(-5)20.3258450.0399888.1485040.0000R-squared0.067275    Mean dependent var0.001267Adjusted R-squared0.065276    S.D. dependent var

31、0.018531S.E. of regression0.017916    Akaike info criterion-5.454912Sum squared resid0.299468    Schwarz criterion-5.408358Log likelihood2561.899    Hannan-Quinn criter.-5.437162Durbin-Watson stat1.960768Inverted AR Roots .54-.39i 

32、;    .54+.39i  -.14+.62i     -.57均值方程：方差方程：模型检验： 从残差Q检验结果看出残差项是一个白噪声再用LM检验残差是否仍具有条件异方差，检验结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.046636    Prob. F(1,934)0.8291Obs*R-squared0.046733    Prob. Chi-Squa

33、re(1)0.8288Test Equation:Dependent Variable: WGT_RESID2Method: Least SquaresDate: 12/14/09 Time: 23:49Sample: 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  C1.0070660.08677211.605890.0000WGT_RESID2(-1)-0.0070660.032718-0.2159540.8291R-squared

34、0.000050    Mean dependent var1.000013Adjusted R-squared-0.001021    S.D. dependent var2.458228S.E. of regression2.459482    Akaike info criterion4.639913Sum squared resid5649.813    Schwarz criterion4.650258Log likeliho

35、od-2169.479    Hannan-Quinn criter.4.643857F-statistic0.046636    Durbin-Watson stat2.000584Prob(F-statistic)0.829071结果显示残差项不存在条件异方差以上检验说明模型设定与拟合均符合要求，模型建立是成功的。无条件方差：二GARCH模型的建立由于方差方程滞后项较多，且ARCH项系数和比较大，应尝试建立GARCH模型，经过尝试，建立GARCH（2，1），模型参数估计结果如下：Dependent Variab

36、le: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/20/09 Time: 18:11Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 48 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*GARCH(-1

37、) + C(7)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.  AR(1)0.2405280.0428045.6192260.0000AR(2)-0.0944850.036891-2.5611920.0104AR(5)-0.1261430.034910-3.6134340.0003Variance EquationC8.10E-062.00E-064.0516840.0001RESID(-1)20.1926730.01867710.315940.0000GARCH(-1)0.2681820.1151842.3

38、282940.0199GARCH(-2)0.5354740.1167674.5858430.0000R-squared0.066911    Mean dependent var0.001267Adjusted R-squared0.064911    S.D. dependent var0.018531S.E. of regression0.017919    Akaike info criterion-5.478170Sum squared resid0.299585&#

39、160;   Schwarz criterion-5.441962Log likelihood2570.784    Hannan-Quinn criter.-5.464365Durbin-Watson stat1.980439Inverted AR Roots .56-.41i     .56+.41i-.14+.65i     -.60均值方程：方差方程：计算无条件方差：模型的检验：从均值方程的Q检验结果：看出，

40、残差项为白噪声，符合要求。再做LM检验残差是否存在条件异方差，检验结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.049369    Prob. F(1,934)0.8242Obs*R-squared0.049472    Prob. Chi-Square(1)0.8240Test Equation:Dependent Variable: WGT_RESID2Method: Least SquaresDate: 12/20/09 Time: 18:21Sample: 1

41、2/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  C0.9918940.1030999.6207530.0000WGT_RESID2(-1)0.0072700.0327180.2221910.8242R-squared0.000053    Mean dependent var0.999149Adjusted R-squared-0.001018    S.D.

42、 dependent var2.990354S.E. of regression2.991876    Akaike info criterion5.031813Sum squared resid8360.533    Schwarz criterion5.042158Log likelihood-2352.888    Hannan-Quinn criter.5.035757F-statistic0.049369    Durbin-

43、Watson stat1.999827Prob(F-statistic)0.824214检验结果表明残差项不具有条件异方差，方程建立是成功的。三 GARCH模型的扩展1. 门限GARCH （TGARCH）黄金市场与股票市场有着相似性，利空消息跟利好消息对条件方差的影响是不一样的。当市场出现利好消息时，金价上升较大，人们预期美元贬值在加快，于是为了避险会大量购入黄金，导致金价上升更快。而在利坏消息出现时，由于黄金保值能力较好，人们不会急于大量抛售黄金，金价波动不会特别剧烈。从金价走势图中也能看出，在金价上涨时，上涨速度相当快，而在下降时并不是很快，图形较平缓。从定量角度，建立如下TGARCH模型

44、：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/15/09 Time: 10:50Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 49 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)

45、2 + C(6)*RESID(-1)2*(RESID(-1)<0) +        C(7)*RESID(-2)2*(RESID(-2)<0) + C(8)*GARCH(-1) + C(9)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.  AR(1)0.2357100.0382356.1647810.0000AR(2)-0.0932450.038487-2.4227760.0154AR(5)-0.1104920.032

46、042-3.4482840.0006Variance EquationC8.73E-061.81E-064.8169080.0000RESID(-1)20.3288840.02527513.011990.0000RESID(-1)2*(RESID(-1)<0)-0.3638320.032894-11.060730.0000RESID(-2)2*(RESID(-2)<0)0.1734890.0457863.7891120.0002GARCH(-1)0.2597990.1069392.4294040.0151GARCH(-2)0.5045210.1002235.0339700.0000

47、R-squared0.067301    Mean dependent var0.001267Adjusted R-squared0.065302    S.D. dependent var0.018531S.E. of regression0.017915    Akaike info criterion-5.502938Sum squared resid0.299460    Schwarz criterion-5.456384Lo

48、g likelihood2584.375    Hannan-Quinn criter.-5.485187Durbin-Watson stat1.971012Inverted AR Roots .55-.40i     .55+.40i  -.14+.63i     -.58均值方程：方差方程：其中做LM检验，结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.075381 

49、   Prob. F(1,934)0.7837Obs*R-squared0.075536    Prob. Chi-Square(1)0.7834结果显示残差项不存在条件异方差。模型中项的系数小于零，也反映了之前的分析。2. EGARCH模型建立EGARCH模型，估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/15/09 Time: 12:21Sample (adjusted): 12/25/1

50、991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 118 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)LOG(GARCH) = C(4) + C(5)*ABS(RESID(-1)/SQRT(GARCH(-1) + C(6)        *LOG(GARCH(-1) + C(7)*LOG(GARCH(-2) + C(8)*LOG(

51、GARCH(-3)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.  AR(1)0.2275470.0422045.3915860.0000AR(2)-0.0967690.037915-2.5522760.0107AR(5)-0.1437780.033267-4.3219890.0000Variance EquationC(4)-0.7028430.104424-6.7306410.0000C(5)0.4086450.03272812.486230.0000C(6)0.6197580.0854577.2523180.0000C(7)

52、-0.2396270.079639-3.0089330.0026C(8)0.5711840.0734527.7762420.0000R-squared0.065644    Mean dependent var0.001267Adjusted R-squared0.063641    S.D. dependent var0.018531S.E. of regression0.017931    Akaike info criterion-5.489220Sum squared

53、 resid0.299992    Schwarz criterion-5.447839Log likelihood2576.955    Hannan-Quinn criter.-5.473442Durbin-Watson stat1.954426Inverted AR Roots .57-.42i     .57+.42i  -.15+.66i     -.62均值方程方差方程：LM检验结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.027641    Prob. F(1,934)