求一阶微分方程积分因子的一些方法

1、求一阶微分方程积分因子的一些方法付开祥 指导老师：李拓（河西学院数学与统计学统计学院 甘肃张掖 734000）摘 要 本文给出了求一阶微分方程积分因子的一些方法，从而解决了求某些一阶微分方程通解的问题对一些特殊类型的方程分别给出了求积分因子的特殊方法，并给出实例说明用积分法求解微分方程的具体方法关键词 恰当方程；积分因子；分组组合法；比较系数法；待定系数法中图分类号 H007.1For first order differential equation of integral factor some methodsAbstract: This article gives a new defin

2、ition of complex integrating factor about first order ordinary differential equation and a new existence theorem of a type of integral factor and calculation formual, and the resuct in this paper amplifies the conclusions in the relevant referenceKey words:Properly equation；Integral factor；Group gro

3、up legal；More coefficient method；Undetermined coefficient method1 引言 对于一个恰当微分方程可以通过积分的方法求出它的通解，而一个非恰当微分方程是不能通过积分求解的，因此能否将一个非恰当常微分方程转化为一个恰当微分方程就有很大意义1,2,3 给出了积分因子的定义和求法定义1 我们可以将一阶方程写成微分方程的形式 (1)如果方程(1)左端恰好是某个二元函数的全微分，即则称该方程为恰当微分方程定义2 如果存在连续可微的函数，使得为一恰当微分方程，则称为方程的积分因子引理 方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是，且积分因子为引理

4、 方程(1)有只与y有关的积分因子的充要条件是，且积分因子为本文将给出求一阶微分方程积分因子的另外一些方法，从而使解决求某些非恰当微分方程通解的问题简单化 2 主要结论及其证明定理 若方程性有两个积分因子和 ，且不恒等于常数，则该方程的通解为= （c任意常数） 证明 是方程的积分因子，故可求得可微函数，使得则 是方程的解根据结论，我们得到这里是的可微函数由上式可得，即 由于我们已经知道 是方程的解故也是方程的解变形上式后，这就证明了 是方程通解定理 方程 具有形如 的积分因子的充要条件是 证明 必要性 若方程有形如的积分因子，则是恰当微分方程从而令，则 ,所以 变形为即因此 充分性 显然成立所

5、以，当时，可以求出，所以方程具有形为的积分因子的充要条件为定理 方程 具有形如 的积分因子的充要条件是 证明 令，则，方程 具有的积分因子的充要条件是即当且仅当时，可以求出的表达式所以，方程具有形为的积分因子的充要条件为3 应用举例例 求方程的解.解 由于，则，因此该方程不是恰当微分方程因为，所以方程有形如的积分因子将乘方程两边，得到即因而，通解为 ,（c任意常数）例 求方程的解解 这里，方程是非恰当的因为，所以方程有积分因子,以乘方程两边得到,因此方程的通解为例 求方程的解解 这里， ， ，因此方程是非恰当的因为，所以方程有积分因子 ,以乘方程两边得，即 ，于是方程的通解为致谢 感谢李老师的悉心指导和帮助！ 参 考 文 献1 叶产谦常微分方程讲义M第二版北京：高等教育出版社，19882 王柔坏,伍桌群常微分方程讲义M北京：人民教育出版社，19793 李瑞遐应用微分方程M上海：华东理工大学出版社，20054 王高雄常