电磁场课件1矢量分析

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波夏 丹天津理工大学天津理工大学 电子信息工程学院电子信息工程学院 学科基础课学科基础课Electromagnetic Fields and Waves2015.09 2015.12Email：联系方式：联系方式：Email：EI_密码：密码：dianxin课程信箱：课程信箱： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 教材及参考书教材及参考书 谢处方、饶克谨谢处方、饶克谨 编，杨显清、王园、赵家升编，杨显清、王园、赵家升 修订修订. 电磁电磁场与电磁波（第场与电磁波（第4版）版）. 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2006.马冰然马冰然. 电磁场与微波技术（上册）（

2、第电磁场与微波技术（上册）（第2版）版）. 广州：华南理工大学出版社，广州：华南理工大学出版社，1999.美 N. Ida, J. P. A. Bastos. Electromagnetics and Calculation of field. 北京：世界图书出版社，1999.钟顺时. 电磁场基础. 北京：清华大学出版社，2006.美 Bhag Singh Guru. 电磁场与电磁波. 北京：机械工业出版社，2002. 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程的性质和任务课程的性质和任务 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程学习的目的课程学习的目的大学物理（电磁学）高等数学电磁波理论电磁波理论电路理论

3、电子技术高频电路 通信原理计算机课程信号处理微波电路微波通信卫星通信移动通信光纤通信信号与系统电磁理论知识是专业知识大厦地基的主要组成部分电磁理论知识是专业知识大厦地基的主要组成部分 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程的主要内容课程的主要内容 核心核心：电磁场电磁波的基本规律、基本计算方法及：电磁场电磁波的基本规律、基本计算方法及 工程应用工程应用数学数学：MaxwellMaxwell方程组的建立、求解和应用方程组的建立、求解和应用 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程的特点课程的特点 需要用到偏微分、多重积分、矢量分析和场论等；需要用到偏微分、多重积分、矢量分析和场论等； 涉及的大多数物理量都

4、是矢量场，不仅是时间的函数，涉及的大多数物理量都是矢量场，不仅是时间的函数， 还是空间分布的函数，概念抽象。还是空间分布的函数，概念抽象。 从实验出发，总结出规律从实验出发，总结出规律(公式和方程，数学推导多公式和方程，数学推导多)； 根据规律，针对不同的情况，采取相应的求解方法解决根据规律，针对不同的情况，采取相应的求解方法解决 不同的实际问题；不同的实际问题； 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程学分、学时课程学分、学时 4学分，64学时（其中，理论课52学时、实验课12学时）； 本学期第116周有课； 各周课时安排：116周 星期二 34节 （16-0106） 112周 星期五 12节 （

5、16-0106） 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 课程考核方式及各环节所占比例课程考核方式及各环节所占比例平时作业占平时作业占5；考勤和课堂表现占考勤和课堂表现占5。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 目目 录录 绪绪 论论 第一章第一章 矢量分析矢量分析 第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 第五章第五章 均匀平面波在无界空间中的传播均匀平面波在无界空间中的传播 第六章第六章 均匀平面波的反射与透射均匀平面波的反射与透射 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波 第八章第八章 电磁辐射电磁辐

6、射 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 绪绪 论论一、电磁场理论的发展历史一、电磁场理论的发展历史最初，人们只能定性观察电现象、磁现象。最初，人们只能定性观察电现象、磁现象。电磁场理论发展中的重大事件：电磁场理论发展中的重大事件：1785年：年：（Coulomb）1820年：电流磁效应（年：电流磁效应（Oersted） （Ampere） （Biot & Savart）1831年：年：（Faraday）1864年：位移电流假说，年：位移电流假说，（Maxwell）1888年：试验证明电磁波存在（年：试验证明电磁波存在（Hertz） 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、电磁场、电磁波和工程应用二、

7、电磁场、电磁波和工程应用1. 电磁场、电磁波电磁场、电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 2. 电磁场理论的工程应用电磁场理论的工程应用 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量

8、场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.1 矢量代数矢量代数 1.1.1 标量和矢量标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一、定义一、定义 标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。如电压、温 度、时间、质量、电荷等； 矢量：矢量：既有大小，又有方向的物理量。如电场、磁 场、力、速度、力矩等。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、零矢量和单位矢量二、零矢量

9、和单位矢量 零矢量：零矢量：大小为零的矢量，称为空矢（Null Vector）或 零矢（Zero Vector）； 单位矢量：单位矢量：大小为1的矢量（Unit Vector）。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三、矢量的表示方法三、矢量的表示方法 几何表示：几何表示：有向线段。如图1.1.1所示，线段的长度表示矢量 的模，即大小 ，箭头方向表示该矢量的方向。| AAP图1.1.1 P点处的矢量 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 数学表示：数学表示： 若用 表示与矢量 同方向的单位矢量，则有：AeA| AAeA(1-1-1) 矢量 可表

10、示为：A| AeAA(1-1-2) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 其中， 为其模值，表征矢量的大小； 为单位矢量，表征矢量的方向。| AAe注：矢量书写时，印刷体为场量符号斜体加粗斜体加粗，如 。教材上符号即为印刷体。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.1.2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法图图1.1.2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图图1.1.3 矢量的减法矢量的减法)( BA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1. 标积（点积或点乘）标积（点积或点乘） 两个矢量的标积是一个标量，定义为这两个

11、矢量的大小与它们之间较小的夹角(0)的余弦之积：A 1.1.3 矢量的乘法矢量的乘法一、矢量与标量的乘法一、矢量与标量的乘法乘积仍为矢量： 当k大于0时，该乘积与 同方向； 当k小于0时，该乘积与 反方向；A二、矢量与矢量的乘法二、矢量与矢量的乘法 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图1.1.4 两个矢量间的夹角及其标积BcosAB(1-1-6) 如图1.1.4所示： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 2. 矢积（叉积或叉乘）矢积（叉积或叉乘） 两个矢量的矢积是一个矢量， 其大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积：(1-1-9) 方

12、向为当右手四个手指从 到 旋转时大拇指的方向如图1.1.5所示。AB 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图1.1.5 两个矢量间的矢量积 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐坐标系标系。通常根据被研究物体几何形状几何形状的不同，采用不同的坐标系。在电磁场理论中，常用的坐标系有三种：、和。 任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量三个独立的坐标变量u1、u2、u3（如直角坐标系中的x、y、z），当u1、u2、u3均为常数时，就代表三组曲面（或平面），称为坐标面坐标面。 若三组坐标面在

13、空间每一点正交（内积为零，即相互垂直），则坐标面的交线（一般是曲线）也在空间每点正交，这种坐标系叫做正交曲线坐标系正交曲线坐标系。上述三种坐标系是许多正交曲线坐标系中较常用的三种。 空间任一点M沿坐标面的三条交线方向各取的单位矢量，称为坐标单位矢量坐标单位矢量。它的模等于1，并以各坐标变量正的增加方向作为正方向正方向。一个正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右相互正交并满足右手螺旋法则手螺旋法则。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.2.1 直角坐标系直角坐标系 三个基本变量三个基本变量x、y、z 它们的变化范

14、围均为(-, +) 。 空间任一点P(x0, y0, z0)是三个坐标曲面： x=x0, y=y0, z=z0 的交点，如图1.2.1所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 图1.2.1 直角坐标系坐标单位矢量 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1-2-1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 单位矢量单位矢量 、 、 过空间任一点P(x0, y0, z0)的这三个相互正交的坐标单 位矢量分别是x、y、z增加的方向，是常矢量，其方向不 随P点位置的变化而变化，这是直角坐标系的一个重要特重要特 征征，且遵循右手螺旋法则：xezeye 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1-2-2) 其中，Ax, Ay,

15、Az分别是矢量 在 、 、 方向上的投 影。两个矢量的加、减、乘法如前所述。 矢量表示矢量表示 在直角坐标系内的任一矢量 可以表示为：AAAxeyeze 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 其微分元为： 位置矢量位置矢量 在直角坐标系中可以表示为：(1-2-6) (1-2-7) 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为：(1-2-8) 体积元是：dxdydzdV (1-2-9) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系 三个基本变量三个基本变量、 z 它们的变化范围分别为： 0, +)、0, 2、(-, +) 空

16、间任一点P(0, 0, z0)是如下三个坐标曲面的交点： =0 圆柱面圆柱面； =0 半平面半平面； (包含z轴并与xz平面构成夹角为0的半平面) z = z0 平面平面。 如图1.2.2所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图 1.2.2 圆柱坐标系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 圆柱坐标系三个互相垂直的坐标面zz 常 数 常 数y 常 数Ox 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 22yx 以z轴作轴线的半径为的圆柱面xyarctan(1-2-10) z=z (1-2-11) 圆柱坐标系与直角坐标系之间

17、的变换关系为：以z轴为界的半平面平行于xy平面的平面或者为： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 单位矢量单位矢量 、 、过空间任一点P(, , z)的这三个相互正交的坐标单位矢 量分别是、z增加的方向，且遵循右手螺旋法则：ezee(1-2-12) 特别强调： 圆柱坐标系中的三个单位矢量（与直角坐标系的不同） 除 外， 和 都不是常矢量，因为它们的方向随P点的 位置（即空间坐标）不同而变化。eeze 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 两种坐标系下的坐标单位矢量之间的变换关系：两种坐标系下的坐标单位矢量之间的变换关系：(1.2.13) 或者圆

18、柱坐标系到直角坐标系的关系： zzyxeeeeeeee,cossin,sincos(1.2.14) 由图1.2.3可得到直角坐标系到圆柱坐标系的关系： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 图 1.2.3 两种坐标系的坐标单位矢量的关系zzyxyxeeeeeeee,cossin,sincos 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 或者： 上述变换关系写成矩阵形式分别为： zyxzeeeeee1000cossin0sincoszzyxeeeeee1000cossin0sincos 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 由式(1.2.13)可知 和 是随变化的，且：eeeeeeeeeey

19、xyxsincoscossin(1.2.15) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.2.16) 其中，A、A、Az分别是矢量 在 、 、 方向上的 投影。 矢量表示矢量表示 在圆柱坐标系内的任一矢量 可以表示为：AeezeA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量运算： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 其微分元为： 位置矢量位置矢量 在圆柱坐标系中可以表示为：(1.2.20) (1.2.21) 其在、z增加方向上的微分元分别是： d、d、dz. 如图1.2.4所示。三者都是长度，与各自坐标的微分比称为度量

20、系数度量系数（或拉梅系数拉梅系数）： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 ee 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图 1.2.4 圆柱坐标系的长度元、面积元、体积元 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 11dzdzhddhddhz(1.2.22) 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为： 体积元是：(1.2.24) (1.2.23) dzdddV 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.2.3 1.2.3 球坐标系球坐标系 三个基本变量三个基本变量r、 它们的变化范围分别为： 0, +)、0, 、0, 2 空间任一点P(r0,0,0)是如下三个坐

21、标曲面的交点（球心在原点）： 半径r=r0的球面球面； 顶点在原点、轴线与z轴重合且半顶角=0的正正 圆锥面圆锥面； 包含z轴并与xz平面构成夹角=0的半平面半平面。 如图1.2.5所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图 1.2.5 球坐标系 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 球坐标系三个互相垂直的坐标面z 常 数 常 数r 常 数Oaaaryx 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 半径为r的球面222arccoszyxz(1-2-25) (1-2-26) 球坐标系与直角坐标系之间的变换关系为：222zyx

22、r以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面以z轴为界的半平面或者为： xyarctan 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 单位矢量单位矢量 、 、过空间任一点P(r,)的这三个相互正交的坐标单 位矢量分别是r、增加的方向，且遵循右手螺旋法 则：reee(1-2-27) 特别强调特别强调： 球坐标系中的三个单位矢量(与直角坐标系的不同) 都不是常矢量不是常矢量，因为它们的方向随P点的位置(即空间坐标) 不同而变化。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 球坐标系与直角坐标系下的坐标单位矢量之间的变换关球坐标系与直角坐标系下的坐标单位矢量之间的变换关

23、系：系：由下图可得变换关系为： 球坐标的三个单位矢量在ex、ey和ez 上的投影 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.2.28) 或者： sincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrx(1.2.29) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 或者： 上述变换关系写成矩阵形式分别为： zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossineeeeeerzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin 第一章第一章

24、 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 由式(1.2.28)可知这三个单位矢量不是常矢量，且：sincos0sincosrrrreeeeeeeeeeee ，(1.2.30) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.2.31) 其中，Ar、A、A分别是矢量 在 、 、 方向上的 投影。 矢量表示矢量表示 在圆柱坐标系内的任一矢量 可以表示为：AreeeA 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 矢量运算： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 其微分元为： 位置矢量位置矢量 在球坐标系中可以表示为：(1.2.35

25、) (1.2.36) 其在r、增加方向上的微分元分别是： dr、rd、rsind. 如图1.2.6所示。三者都是长度，与各自坐标的微分比称为度量系数度量系数(或拉梅系数拉梅系数)：rerr 第一章第一章 矢量分析矢量分析 sineeeerr， 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 图 1.2.6 球坐标系的长度元、面积元、体积元 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 sinsin1rddrhrdrdhdrdrhr(1.2.37) 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元分别为： 体积元是：(1.2.39) (1.2.38) ddrdrdVsin2 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电

26、磁场与电磁波电磁场与电磁波 作作 业业1.1、1.5、1.6、1.9 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度v 场的概念场的概念 如果在一个空间区域内，某物理系统的状态可以用一个 空间位置和时间空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻，区域中的每 一点都有一个确定值，则在此区域中就确立了该物理系统 的一种场场。如：物体温度分布的温度场、空间电位分布的 电位场、流体压力分布的压力场，等等。场的一个重要的属性重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域 内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁

27、场与电磁波电磁场与电磁波 v 场的分类场的分类 若所研究的物理量是一个标量，则其确定的场称为标量标量 场场。标量场中各点的场量是随空间位置变化的标量。一个 标量场u可以用一个标量函数标量函数来表示，如在直角坐标系中 可表示为：),(zyxuu 若所研究的物理量是一个矢量，则其确定的场称为矢量场矢量场。若所研究的物理量与时间无关，则该场称为静态场静态场；若该 物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场时变场。(1.3.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.3.1 1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面一、定义一、定义(1.3.2) 第一章第一章 矢量分析矢

28、量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、特点二、特点（1）常数c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值等值面族面族；（2）若M(x0, y0, z0)是标量场中的任一点，则曲面 u(x, y, z) = u(x0, y0, z0) 是通过该点的等值面，因此标量场的等值面族充满场所在的整个空间充满场所在的整个空间； （3）由于标量函数u(x, y, z)是单值的，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交互不相交，如图1.3.1所示。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 图1.3.1 等值面 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.3.2 1.3.2 方向导数方向导数 标量场u(

29、x, y, z)的等值面只描述了场量u的分布状况分布状况，而研究标量场的另一个重要方面是，研究标量场u(x, y, z)在场中任一点的邻域内沿各个方向的变化规律沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的方向导数方向导数和梯度梯度的概念。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 设M0是标量场u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l。M是l上的动点，到点M0的距离为l，如图1.3.2所示。若当M沿射线趋于M0(即l趋于零)时，比值 的极限存在，则称此极限为标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 ，即：lMuMu)()(00Mlu图1.3.2 方向导

30、数(1.3.3) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 一、方向导数的概念一、方向导数的概念 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 由此可知，方向导数是标量场u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率对距离的变化率：注：注： 方向导数与点方向导数与点M0和和l方向都有关，因此，标量场中，在一个给定点方向都有关，因此，标量场中，在一个给定点M0处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、方向导数的计算公式二、方向导数的计算公式 方向导数的定义定义与坐标系无关，但其具体的计算公式计算公式却与坐标系有关。根据复合

31、函数求导法则，在直角坐标系中：dldzzudldyyudldxxulu设l方向的方向余弦为cos、cos、cos，即：cos,cos,cosdldzdldydldx则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为：(1.3.4) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 补充：矢量的方向余弦补充：矢量的方向余弦 矢量与坐标轴（或坐标矢量）所成的角称为矢量的方向角方向角，方向角的余弦称为矢量的方向余弦方向余弦。一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。矢量的方向余弦也可用矢量的分量来表示。 定理定理：非零矢量a = eiX+ejY+ekZ的方向余弦为式中的 分别为矢量a与i轴、j轴、k轴

32、的交角，即矢量a的三个方向角。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 且 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例题：例题： 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方 向的方向导数。zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222 解：解：l方向的方向余弦为： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 而：222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu数量场在l方向的方向导数为： 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点M处沿l方向的方向导数： 324232132131Mlu 第一章第一章 矢量分

33、析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.3.3 1.3.3 梯度梯度 从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方向上的变化率的大小(方向导数)是不同的，必然存在一个变化最变化最大的方向大的方向。为此，引入梯度的概念。一、梯度的概念一、梯度的概念 标量场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值，记作grad u，即：(1.3.5) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、梯度的计算公式二、梯度的计算公式 梯度的定义与坐标系无关，但其具体的计算公式却与坐标系有关。在直角坐标系中，令：由式(1.3.4)：zyxzyxlezueyuexu

34、Geeeecoscoscos可得： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (直角坐标系中方向导数的计算公式) 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 ),cos(lleGGeGlulele(1.3.6) 矢量 是l方向的单位矢量，矢量 是在给定点处的一常矢量，与方向l无关。因此上式中，当 与 的方向一致时，即cos( , )=1 时，标量场在该点处的方向导数最大，即沿矢量沿矢量 方向的方向导数最大方向的方向导数最大，此最大值为矢量 的模。因此得到直角坐标系中梯度的计算公式为： leGGGGG(1.3.7) 矢量分析中常用到哈密顿算符哈密顿算符“”，其在直角坐标系中为： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (1.3

35、.8)具有矢量和微分的双重性质，故又称为矢性微分算符矢性微分算符。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 这样，梯度可表示为：(1.3.9)这表明标量场u的梯度可认为是算符算符作用于标量函数作用于标量函数u的一种运算的一种运算。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 梯度在圆柱坐标系和球坐标系中的计算公式分别为：(1.3.11)(1.3.10) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三、梯度的性质三、梯度的性质（1）标量场u的梯度是一个矢量场矢量场，通常称u为标量场 u所产生的梯度场梯度场；（2）标量场u(M)中，在给定点沿任意方向l的方向导数 等于梯度

36、在该方向上的投影投影。（3）标量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的 等值面，且指向函数u(M)增加的方向。也就说，梯 度就是该等值面的法向矢量法向矢量。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 四、梯度的运算法则四、梯度的运算法则uufufvuuvvvuvuuvuvvuvuuccuc)( )()(1)()()(02 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第

37、一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度( , , )( , , )( , , )xxyyzzFe F x y ze F x y ze F x y z),(zyxFF),(zyxF若所研究的物理量是一个矢量，则其确定的场称为矢量场。一个矢量场 可用一个矢量函数矢量函数来表示。在直角坐标系中 可表示为：(1.4.1)一个矢量场 可以分解为三个分量场，在直角坐标系中，(1.4.2)其中的三个分量分别是 沿x、y、z方向的分量。FF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4.1 1.4.1 矢量场的矢

38、量线矢量场的矢量线一、定义一、定义 对于矢量场 ，可用一些有向曲线有向曲线来描述矢量在空间的分布。在这些曲线上的每一点处，切线方向切线方向都与该点的场矢量方向相同，这些有向曲线称为矢量线矢量线，如图1.4.1所示。如静电场中的电场线，磁场中的磁场线。)(rF图1.4.1 矢量线 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 一般地，矢量场中的每一点都有矢量线通过，因此，矢量线也充满充满矢量场所在的整个空间矢量场所在的整个空间。二、矢量线的性质二、矢量线的性质 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三、矢量线的微分方程组三、矢量线的微分方程组 设矢量场为)

39、,(),(),(zyxFezyxFezyxFeFzzyyxxM(x, y, z)是场中矢量线上的任意一点，其矢径为dzedyedxerdzyxzeyexerzyx则其微分矢量为 在点M处与矢量线相切。根据矢量线的定义可知，在点M处， 与 共线，即 / ，则有rdFrdF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 zyxFdzFdyFdx(1.4.3)这就是矢量线的微分方程组矢量线的微分方程组。解此方程组即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 【例1.4.1】设点电荷q位于坐标原点,它在空间任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度矢量为：rrqE34式中，q、均为常数，

40、为M点的位置矢量。求 的矢量线方程并画出矢量线图。 xyzre xe ye zE 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4.2 1.4.2 通量通量一、面元矢量及其法向单位矢量一、面元矢量及其法向单位矢量 设S是一空间曲面，dS为其上的面元，取一个与此面元相垂直的单位矢量，即法向单位矢量 ，则称矢量dSeSdn为面元矢量，即 分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念。ne(1.4.4) 第一

41、章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 ne 法向单位矢量 的取法有两种情况：如图1.4.3所示。图1.4.3 矢量场的通量闭合曲面情况闭合曲面情况非闭合曲面情况非闭合曲面情况 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 F二、通量的概念二、通量的概念 将矢量场 与其中的任一面元矢量 的标量积标量积 定义为矢量 穿过面元矢量 的通量。将曲面S上各面元的 相加，得到矢量 穿过曲面 的通量通量，即：SdFSdFSdFSdFSddSeFSdFSSn(1.4.5)如果 是一个闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表示为：dSeFSdFSSn(1.4.6) 若 从面元矢量

42、 的负侧穿到 的正侧时， 与 相交成锐角锐角，则通过面元 的通量为正值正值；反之，二者相交成钝角钝角，通过面元 的通量为负值负值。FSdneF 第一章第一章 矢量分析矢量分析 SSSdSd 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 通过闭合曲面的通量的物理意义： 正通正通量源量源 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4.3 1.4.3 散度散度一、散度的概念一、散度的概念 在矢量场 中的任一点M处作一个包围该点包围该点的任意闭合曲面S，设S所限定的体积为V，当体积V以任意方式任意方式缩向M点，即趋近于零时， 若下列极限：F存在，则称此极限为矢量场 在点M处的散度散度。 矢量场

43、穿过闭合曲面的通量是一个积分量积分量，不能反映场域内每一点每一点的通量特性的通量特性，为此，引入矢量场的散度。F(1.4.7)VSdFFdivSV0lim 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、散度的物理意义二、散度的物理意义即单位体积即单位体积内散发出来内散发出来的通量的通量图1.4.4 散度的意义即单位体积即单位体积内散发出来内散发出来的通量的通量单位体积单位体积内散发出内散发出来的通量来的通量 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三、散度的计算公式三、散度的计算公式 散度与V的形状无关形状无关，只要在取极限过程中，所有尺寸都趋于零即可

44、。算符算符作用于矢量作用于矢量函数的一种运算函数的一种运算 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.4.4 1.4.4 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 第一章第一章 矢量分析矢量分析 (1.4.12) 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 散度定理表明，矢量场的散度在体积散度定理表明，矢量场的散度在体积V上的体积分等于上的体积分等于该矢量场在限定该体积的闭合面该矢量场在限定该体积的闭合面S上的面积分，是矢量散度上的面积分，是矢量散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式，在

45、电磁理论中非常有用。矢量分析中的一个重要的恒等式，在电磁理论中非常有用。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 矢量场的环流与旋度同样反映矢量场的空间变换规律。 1.5.1 1.5.1 环流环流一、定义一、定义如图如图1.5.1示：示：图1.5.1 闭合路径(1.5.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 与通量源不同，不发出、也不汇聚矢量线与通量源不同，不发出、也不汇聚矢量线. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电

46、磁场与电磁波 二、环流面密度（描述场中每一点附近的环流状态）二、环流面密度（描述场中每一点附近的环流状态）：(1.5.2)保持以保持以 为法线方向为法线方向ne 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 一、旋度的概念一、旋度的概念1.5.2 1.5.2 旋度旋度 既然环流面密度与面元的法矢 有关，那么在矢量场的一给定点M处，沿不同方向 的环流面密度值一般是不同的，有可能在某一确定的方向上取得最大值。为此，引入旋度的概念。nene环流面密度取得最大值的面元正法线单位矢量环流面密度取得最大值的面元正法线单位矢量(1.5.3) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁

47、场与电磁波 二、旋度的物理意义二、旋度的物理意义矢量的旋度为矢量，是空间位置的函数；矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的旋涡源密度；矢量场在某个方向的环流密度是旋度在该方向上的投影。如图1.5.2所示，即：FroteFrotnn(1.5.4)图1.5.2 旋度在某个方向上的投影 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 三、旋度的计算公式三、旋度的计算公式 旋度的定义定义与坐标系无关，但其具体的计算公式计算公式却与坐标系有关。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 算符算符作用于矢量作用于矢量函数的另一种运算函数的另一种运算 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在圆柱坐标系和球坐

48、标系中的旋度表达式分别为： 第一章第一章 矢量分析矢量分析 21sin1sinsinzzrreeeFzFFFerereFrrFrFrF 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 四、旋度的的重要性质四、旋度的的重要性质（1）任意标量场梯度的旋度等于零任意标量场梯度的旋度等于零。 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 （2） 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 斯托克斯定理表明，矢量场的旋度在曲面斯托克斯定理表明，矢量场的旋度在曲面S上的面积分上的

49、面积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线C上的线积分，是矢上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式，在电磁理论中关系，也是矢量分析中的一个重要的恒等式，在电磁理论中也是很有用的。也是很有用的。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中，梯度梯度的表达式为 第一章第一

50、章 矢量分析矢量分析 sinrueruerueuzueueueuzueyuexueurzzyx小结：小结：梯度的定义：梯度的定义： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 FrFrFrrrFzFFFFzFyFxFFrzzyxsin1)(sinsin1)(11)(122 第一章第一章 矢量分析矢量分析 在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中，散度散度的表达式为VSdFFdivSV0lim散度的定义：散度的定义： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 FrrFFrerererFFFFzeeeFFFFzyxeeeFrrzzzyxzyxsinsinsin112 第一章第一章 矢量分析矢量分析 在直角坐标系、圆柱坐标系和球

51、坐标系中，旋度旋度的表达式为旋度的定义：旋度的定义： 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 作作 业业1.12、1.16、1.18、1.23、1.27 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；是矢量，产生的矢量场具有旋涡性质，穿过一曲面的旋涡源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环流环流，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 矢量场的散度与旋度反映了产生

52、矢量场的两种不同性质的源；相应地，不同性质的源产生的矢量场也具有不同的性质。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.6.1 1.6.1 无旋场无旋场一、定义一、定义由散度源产生的，场仅有散度源而无旋度源由散度源产生的，场仅有散度源而无旋度源. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.6.1)(1.6.2)其中的负号为的是使其与电磁场中电场强度E和电位的关系相一致。二、无旋场的性质二、无旋场的性质根据斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的环流为0，即这表明无旋场的曲线积分与路径无关，只与起点与终点有关。 一个标量场可由其梯度完全确定。梯度的旋

53、度恒等于梯度的旋度恒等于0 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.6.2 1.6.2 无散场无散场一、定义一、定义由旋涡源产生的，场仅有旋涡源而无散度源由旋涡源产生的，场仅有旋涡源而无散度源. 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.6.5)(1.6.6)二、无散场的性质二、无散场的性质根据散度定理可知，无散场沿闭合曲面的通量为0，即 旋度的散度恒等于旋度的散度恒等于0 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 源在要讨论的区域之外：00FF F0)(补充补充1. 1. 在要讨论的场区，既无旋又无散在要讨论的场区，既无

54、旋又无散 第一章第一章 矢量分析矢量分析 02 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 补充补充2. 2. 既可能有散，也可能有旋的矢量场既可能有散，也可能有旋的矢量场这样的场可分解为两部分： 无旋场部分 无散场部分)()()(rArrF无旋场部分无散场部分 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.7 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.7.1 1.7.1 拉普拉斯运算拉普拉斯运算一、标量场的拉普拉斯运算一、标量场的拉普拉斯运算 标量场 u 的梯度u为一矢量场，若再对u求散度，则称为标量函数u的拉普拉斯运算，记为2u，即 2u =(u) 其中的“2”称为拉普

55、拉斯算符。 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在直角坐标系中，在直角坐标系中，由梯度公式 (1.3.7)可得2u =(u)的表达式为 和散度公式 (1.4.9)2222222zuyuxuu(1.7.1) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.7.2) 在圆柱坐标系中，在圆柱坐标系中，由梯度公式 (1.3.10)和散度公式 (1.4.10)可得2u =(u)的表达式为 2222221)(1zuuuu 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1.7.3) 在球坐标系中，在球坐标系中，由梯度公式 (1.3.11)和散度

56、公式 (1.4.11)可得2u =(u)的表达式为2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru 第一章第一章 矢量分析矢量分析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 二、二、 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算 矢量场F 的拉普拉斯运算定义为)()(2FFF在直角坐标系中为 zzyyxxFeFeFeF2222(1.7.4)(1.7.5) 第一章第一章 矢量分析矢量分析 2222222zyx这里， 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 1.7.2 1.7.2 格林定理格林定理一、一、格林第一恒等式格林第一恒等式 格林定理又称为格林恒等式，是矢量分析中的重要公式。在电磁场理论中，研究解的唯一性、电磁辐射和电磁波传播等问题中经常用到。dSeFSdFdVFnSSV中，令矢量等于一个标量函数和一个矢量函数的乘积，则有 在散度定理 第一章第一章 矢量分析矢量分析 2)(FnFnnee代入上式得到格林第一恒等式格林第一恒等式为 dSndVSV)(2闭合曲面闭合曲面S上的外上的外法向矢量法向矢量(1.7.6) 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 若将式(1.7.6)中的和互换，则有：dSndVSV)(2由式(1.7.6)与式(1