第08章06节空间曲面(1)

1、第6节 空间曲面研究空间曲面有两个基本问题:(1) 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程(2) 已知曲面方程，研究曲面形状6.1柱面先讨论一个方程及其图形:【例6.1】在空间中方程表示怎样的几何对象? 解设在空间中方程表示的几何对象为。在平面上的投影点是。方程不含变量，不论取何值都不影响是否成立。我们知道，方程表示平面上一条曲线 也就是说，过点且平行于轴的整条直线都落在上的充要条件是故，是由保持平行于轴的直线沿面上的曲线移动而形成的（图6.3）这样的称为柱面。图6.2图6.1图6.3一般地，我们称保持平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的曲面为柱面，定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线（图

2、6.2）结论：在空间中，方程表示以为准线且母线平行于轴的柱面。（而方程在平面解析几何表示一条曲线。在空间中写平面上曲线的方程要加上限制。）例如，图6.1所示，在空间中表示一个圆柱面结论：在空间中，每张曲面的方程都是一个三元方程；每个三元方程都表示一张曲面。类似地，只含不含的方程与与只含不含的方程，分别表示母线平行于轴和轴的柱面.图6.4图6.5例如，表示母线平行于轴的椭圆柱面（图6.4）表示母线平行于轴的抛物柱面（图6.5）图6.6表示母线平行于轴的双曲柱面（图6.6）思考题：1.平面能看成柱面吗?如果能够，可以看成是怎样的一个柱面?（准线是直线：，母线平行于轴。）【例6.2】设柱面的准线方程

3、为，母线的方向向量，求此柱面的方程.解设柱面任一点，过点的母线与准线交于点，则柱面的母线方程可表示为， 或 将其代入准线方程，有，消去，得柱面的方程为.6.2旋转曲面图6.7平面上的曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴，称为母线设平面上已知曲线的方程为，将绕轴旋转一周，得到一个以轴为轴的旋转曲面，现求的方程.点绕轴旋转一周得一个圆，此圆与平面有两个交点和，其中。如图6.7所示，因此故，的方程为. (6.2)总结绕轴旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程在上面总结中，轮换得到其他情形旋转曲面方程的求法。（1）绕轴

4、旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程；（2）绕轴旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程（3）绕轴旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程（4）绕轴旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程（5）绕轴旋转一周得旋转曲面的方程的求法：转轴的保持不变，在中将改写成就得到旋转曲面的方程有时反过来问：给定的旋转曲面是由哪条母线绕哪个坐标轴旋转得到的？关键是哪两变量平方和是上面方法改过来的，然后反过来用上面的方法。例如【P47 4(4)】方程表

5、示的旋转曲面是怎样形成的?解 是把的改写成就得到的。因此，曲面是母线绕轴旋转一周得的旋转曲面。思考题：2.试写出其他两个坐标面上的定曲线分别绕相应的坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程.【例6.3】(1)平面上的抛物线绕轴旋转而成的曲面的方程是，此曲面叫做旋转抛物面（图6.8）图6.8图6.9(2)平面上的椭圆绕轴旋转而成的曲面的方程是，此曲面叫做旋转椭球面（图6.9）(3) 平面上的双曲线绕轴和轴旋转而成的曲面的方程分别是 与 ，两曲面分别称为单叶旋转双曲面（图6.10）与双叶旋转双曲面（图6.11）图6.10图6.11图6.12【例6.4】直线绕另一条与它相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面

6、（图6.12）两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为轴的圆锥面的方程解设在平面上，直线的方程为，因为轴是旋转轴，故得圆锥面的方程，即(6.3)图6.12中为圆锥面的半顶角【例6.5】写出满足下列条件的动点的轨迹方程，并说明它们分别表示什么曲面？(1) 动点到坐标原点的距离等于它到平面的距离；(2) 动点到轴的距离等于它到平面的距离的两倍解(1) 设动点为，由条件得即 或 .这是以轴为旋转轴，开口朝下的旋转抛物面（图6.13）(2) 设动点为，由条件得，即这是顶点在原点，旋转轴为轴的圆锥面（图6.14）图6.13图6.14习题86A类1.指出下列方

7、程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形：*(1); (2); (3); *(4).2. 求下列柱面的方程:(1) 准线为 ，母线平行于轴;(2) 准线为 ，母线平行于轴;*(3) 准线为 ，母线平行于直线.解(3)母线的方向向量。设柱面任一点，过点的母线与准线交于点，则柱面的母线方程可表示为， 或 将其代入准线方程，有，消去，由前式解出，代入后式得，化简得所求柱面的方程.3.写出下列曲线绕指定轴旋转所生成的旋转曲面的方程：*(1)平面上的抛物线绕轴旋转；(2)平面上的双曲线绕轴旋转；(3)平面上的圆绕轴旋转；解 (3)旋转曲面的方程：即（可以进一步化简）*(4)平面上的直线绕轴旋转.4.指出下列方程所表示的曲面哪些是旋转曲面，这些旋转曲面是怎样形成的：(1) ; (2) ; (3) ; (4) .5.写出满足下列条件的动点的轨迹方程，它们分别表示什么曲面？(1) 动点到坐标原点的距离等于它到点的距离的一半;*(2) 动点到点的距离等于它到轴的距离;(3) 动点到轴的距离等于它到平面的距离的两倍.解 （2）动点到点的距离：；到轴的距离：。所以轨迹方程即这是准线为，母线平行于轴的抛物柱面。6.画出下列方程所表示