第10章03极坐标系下二重积分的计算(1)

1、第3节 极坐标系下二重积分的计算在有些情形下，用极坐标来计算二重积分比较简便3.1 利用极坐标计算二重积分设区域用极坐标表示为（看黑板图）（参见图3.2，其中称为小边界，称为大边界。）要计算用下面特殊分割和特殊取点计算上面二重积分。用一些射线常数、一些圆弧常数分割。设第小块的极角、极角增量、极径、极径增量为，则。取点。则我们发现右边极限正好是用极坐标计算的积分。因此这就是用极坐标计算二重积分的公式。（刚好夹在射线之间；小边界和大边界的找法：，射线截得截线。）注意：用极坐标计算二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系，代入，并且面积元素多一个因子，即 (2)若区域的小边界收归极点（图3.3），则

2、可表示为：，则有；(3)若极点包含在区域的内部（图3.4），可表示为：，故有图3.3图3.2图3.4有时或是边界的切线（看黑板图）。【例3.1】 计算，其中分别为()(1) ；(2) ；(3) 解(1) ：为圆心在原点，半径为的上半圆域（图3.5）其在极坐标系下表示为：，故(2) ：为圆心在原点，半径为的右半圆域（图3.6）其在极坐标系下可表示为：， 故图3.5图3.7图3.6(3) ：为圆心在点处，半径为的圆的上半圆域（图3.7）极坐标系下可表示为，故，【例3.2】 求，其中是由，所围的位于第一象限部分的闭区域解边界曲线在极坐标系下的方程为：，图3.8求边界曲线的交点由，得，所以区域的大有两

3、个不一样的表示式，必须用射线将区域分成两块（图3.8）;方法总结：当边界的表示式不一致时，作适当分割。【例3.3】 计算，其中解函数在直角坐标系下无法直接积分利用极坐标系，有，故图3.9现利用上述结论来求得积分：设，则有（图3.9），因，由积分的不等式性质，有，由上例可知，故有，又因为，所以，即称为Euler-Poisson积分，其值为，这一结论在概率论等课程中有着重要的应用注意：积不出来。方法总结：当积分区域的边界有圆弧，或被积函数有时，用极坐标计算二重积分特别简单。（测）【例3.4】 设平面上两定点间的距离为，动点到两定点的距离之积为，称动点的轨迹为双纽线求双纽线所围图形的面积解建立直角坐

4、标系设两定点的坐标为，动点的坐标为，则有，图3.10，由题意得，即，整理方程得，令，故曲线方程为：由曲线方程知，双纽线关于,轴是对称的，故的面积是的面积的4倍这里利用对称性可以简化计算。当积分区域的对称性与被积函数关于自变量的奇偶性相配合时，关于二重积分的计算，容易得到如下结论：(1) 若被积函数关于是奇函数，积分区域关于轴对称，则有；(2) 若被积函数关于是偶函数，积分区域关于轴对称，则有，其中为位于轴的右侧的半区域(3) 若被积函数关于是奇函数，积分区域关于轴对称，则有；(4) 若被积函数关于是偶函数，积分区域关于轴对称，则有，其中为位于轴的上侧的半区域(5) 若积分区域关于对称，则有，我

5、们也称这种对称性为轮换对称性【例3.5】 计算,其中解因积分区域是圆域，关于轴、轴对称，故有，此处利用了上面性质(1),(3).从而有.又因关于直线对称，由上面性质(5)，有，从而.思考题：1若，则有(1)；(2)；上面两式是否成立？（1）错，（2）对。）2设，则是否正确？（错！因为积分过程中，积分变量在整个积分区域上变化，而不只是在的边界上。）3.2* 二重积分的换元法上面我们介绍了利用极坐标系计算二重积分，当积分区域或被积函数具有某种特点时，利用极坐标变换可使二重积分的计算简化但极坐标变换只是一种特殊的坐标变换，有时我们还可以通过一般的坐标变换简化积分的计算.下面我们介绍一般的坐标变换下二

6、重积分的计算公式定理3.1 设函数在平面上的有界闭区域上连续，变换,， (3.2)将面上的平面区域一一对应地映射为平面的区域，函数，在上有一阶连续偏导数，且，时，则有二重积分的换元公式 (3.3)此公式的证明较为复杂，仅做一般的说明在上述变换下，面上的点可用两曲线的交点来表示，即，(3.4)称其为点的曲线坐标曲线族，称为此曲线坐标的坐标线，变换(3.2)称为曲线坐标变换用曲线坐标的坐标线来划分面上的积分区域，如图3.11，3.12所示，设的四个顶点的曲线坐标分别为，对应的直角坐标分别为，当划分足够小时，的面积可近似看作是由与为边所构成的平行四边形的面积图3.11图3.12由变换(3.2)知，利

7、用一元函数的微分，可得，同理可得，由此得的面积元素，故得由于雅可比行列式相当于一元函数的导数，读者自然可以将上述二重积分的换元公式与定积分的换元公式进行比较若令，则即有，正是极坐标系下的面积元素【例3.6】 证明：证令，则，设，则，故【例3.7】 求曲线，与所围的区域的面积解，但在直角坐标系下计算显然很复杂，作变换：令，则边界曲线转化为：，而由得，即，故所求的面积为平面上由及所围的区域的面积因由变换可得，故，得3.3* 广义二重积分在这里我们仅考虑无界区域上的有界函数的广义二重积分设是中的一个无界区域函数在上各点有定义用任意一条光滑曲线在中分割出一有界区域设二重积分存在当曲线在中连续变动时，所

8、划出的区域无限扩展而趋近于时，如果不论曲线的形状如何，也不论扩展的过程怎样，恒趋近于定值，即， (3.5)则称是函数在无界区域上的广义二重积分，记为：此时，也称在上的积分收敛，或在上广义可积否则，称积分发散为了能计算某些简单而有用的广义二重积分，我们介绍几个有关的结论（略去证明）：(1) 设非负函数在区域上有定义，若二次积分存在，则存在，且有公式 (3.6)(2) 如果非负函数在区域上有定义，且对任何，在上的二重积分都存在，存在，且有公式： (3.7)【例3.8】 求解因，故关于广义二重积分的收敛性，有如下判别法：定理3.2设在无界区域上连续，若存在，当，且时，有，其中与都为常数，则当时，广义

9、二重积分收敛【例3.9】 证明：无界区域上的二重积分收敛，并求其值，其中是全平面证作坐标变换，因对任意的，均有，从而存在，当时，有，由上面的判别法知，收敛取曲线为：，则有由上面的结果，我们还可推出一个有用的结论：这个广义二重积分称为概率积分，它在概率论中占有很重要的地位若选择曲线为的边界，则有从而习题10A类1化下列积分为极坐标下的二次积分：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 解 （5）（画图见黑板。）2利用极坐标计算下列各题：(1) ，其中；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，解 （4）（画图见黑板。）3求下列曲线所围平面图形的面积：(1) ；(2) ；*(3) ；(4) 4求下列曲面所围成的立体的体积：(1) 及；*(2) ，及；(3) 及；(4) 及；*(5) 及B类*1作适当的变换，计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，其中由直线，围成(3) ，；(4) ，；(5) ，其中由曲线，围成(6) ，其中由曲线，围成(3) ，；解（3）。根据对称性，其中。根据轮换对称性，方法总结：二重积分