无穷小与无穷大极限运算法则讲义

1、标题：无穷小与无穷大教学目标：1.理解无穷小、无穷大的概念； 2.掌握无穷小与无穷大的关系。教学重点及难点：1.无穷小的概念；2.无穷小与无穷大的关系。教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ）一、无穷小若当（或）时的极限为零，就称为当（或）时的无穷小，即有定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为。注：除上两种之外，还有的情形。：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。【例1】 因为，所以当时为无穷小；同理：，所以当时为无穷小，定理1：当自变量在同一变化过程（或）中

2、，（i）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：为的极限。（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。备注：二、无穷大 若当或时，就称为当或时的无穷大。定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:。注：同理还有时的定义。 ：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 ：若或，按通常意义讲，的极限不存在。【例2】 可证明，所以当时为无穷大。 曲线的渐近线：一般地，若是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。若是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若为无穷大，则为无穷小。（ii）若为无穷小，且，则为无穷大。（证明略）三、练

3、习题1、凡是无穷小者皆以_为极限；2、在_条件下，直线是函数的水平渐近线；3、在同一过程中，若为无穷大，则_为无穷小。作业题，思考题：标题：极限运算法则教学目标：1.掌握无穷小的性质；2.掌握极限运算法则。教学重点：1.无穷小的性质；2.极限运算法则。教学难点：无穷小的性质。教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ）一、无穷小的性质定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如：定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，; 推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，。推论2：有限个无穷小的乘积仍为

4、无穷小，设。二、极限四则运算法则定理3：若，则存在，且。证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。备注：定理4：若，则存在，且。证明略。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理5：设，则。证明略。注：以上定理对数列亦成立。定理6：如果，且，则。【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且，由定理5，。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 【例6】求解：当极限均不存在，故

5、不能直接用定理3，但当时，所以。【例7】求。解：当时，故不能直接用定理5，又，考虑：， 由无穷小与无穷大的关系。【例8】设为自然数，则 。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： 【例9】作业题，思考题：标题：无穷小的比较教学目标：1.掌握无穷小阶的概念；2.会对无穷小进行比较；3.会用无穷小的等价替换求有关极限。教学重点及难点：利用等价无穷小求极限。教 学 内 容 （教 学 时 数： 2 ）一、无穷小阶的定义在上一节中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于无穷小的商会出现不同的情况，例如： （为常数，为自然数）定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若，就说是比高阶的无穷小，记为；(ii) 若，就说是比低阶的无穷小；(iii) 若，就说与是同阶的无穷小；(iv) 若，就说与是等价无穷小，记为。定理1：是等价无穷小的充分必要条件为 。证明略。【例1】 当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小； 与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即。定理2：若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么。 定理2表明：求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可用等价无穷小来代替。备注：【例2】 求。解：