时 直线与圆锥曲线的位置关系

1、基础过关第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为，>0时，有两个公共点，0时，有一个公共点，<0时，没有公共点但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：AB=或

2、：利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算3中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得即 对于双曲线、抛物线，可得类似的结论典型例题例1. 直线yax1与双曲线3x2y21相交于A、B两点(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？解： 消去y(1) 联立 (3a2)x22ax20 显然a23，否则方程只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点若交点A、B在双曲线

3、同支上，则方程满足：a(，)(，)若A、B分别在双曲线的两支上，则有：a(，)(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OAOB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2·a·11OAOB x1x2y1y20 1a±1此时0，符合要求变式训练1：已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求实数a的值.解：联立方程为(1) 当a0时，此时方程组恰有一组解 (2) 当a0时，消去x得 若0，即a1方程变为一次方程，y10，方程组恰有一组解 若0，即a1，令0得1，解得a此时直线与曲线

4、相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a0，1，时，直线与曲线只有一个公共点例2. 已知双曲线方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系两式相减是： 所求中点弦所在直线为，即(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说

5、明了满足条件的直线不存在变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）A2 B2 C D 解：D例3. 在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，设、，中点，则 点在直线上，代入，得，即解得解法二：设，关于对称，中点，则相减得：，则 在抛物线内部，化简而得，即，解得变式训练3：设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 .解：8例4. 已知椭圆1(a为常数，且a>1)，向量(1, t) (t >0)，过点A(a, 0)且以为方向向量的直线

6、与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）(1) 求t表示ABC的面积S( t )；(2) 若a2，t, 1，求S( t )的最大值CAOBxy解：(1) 直线AB的方程为：yt(xa)，由 得 y0或y 点B的纵坐标为 S(t)SABC2SAOB|OA|·yB(2) 当a2时，S(t) t，1， 4t24当且仅当4t，t时，上式等号成立. S(t)2即S(t)的最大值S(t)max2变式训练4：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： APQFOxy相切，求椭圆C的方程. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故椭圆的离心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，小结归纳所求椭圆方程为小结归纳1判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况2涉及中点弦的问题有两种